Hoofdstuk 14

Evenredigheid en formules

Wanneer je twee keer zoveel benzine tankt, betaal je ook twee keer zoveel. Maar als je twee keer zoveel arbeiders hebt, duurt een klus twee keer zo kort. Rechtevenredigheid en omgekeerde evenredigheid beschrijven twee fundamentele soorten verbanden die overal in wetenschap en dagelijks leven voorkomen.

Rechtevenredigheid

Twee grootheden zijn rechtstreeks evenredig als hun verhouding altijd gelijk blijft. Als je de ene grootheid verdubbelt, verdubbelt de andere ook; als je de ene halveert, halveert de andere eveneens. Het verband verloopt via een vaste vermenigvuldigingsfactor die we de evenredigheidsconstante noemen.

Begrip Rechtevenredigheid

Twee grootheden x en y zijn rechtstreeks evenredig als er een vast getal k ≠ 0 bestaat zodat y = k · x voor alle waarden. Het getal k heet de evenredigheidsconstante of richtingscoëfficiënt.

De formule en de constante

Rechtevenredigheid — formule

y = k \cdot x met k = \frac{y}{x}

De constante k bepaal je door één bekend koppel (x, y) in de formule in te vullen en te berekenen. Als je eenmaal k kent, kan je voor elke waarde van x de bijhorende waarde van y berekenen, en omgekeerd.

Stelling — Kenmerk van rechtevenredigheid

Bij rechtevenredigheid is de verhouding y/x constant voor alle waarden x ≠ 0. Deze vaste verhouding is precies de evenredigheidsconstante k.

Eigenschappen

Als x verdubbelt, verdubbelt ook y.
Als x halveert, halveert ook y.
Als x = 0, dan is y = 0: de grafiek gaat altijd door de oorsprong.
De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong.

Grafiek van de rechtevenredigheid y = 1,5x. De rechte lijn gaat door de oorsprong (0,0). De richtingscoëfficiënt k = 1,5 geeft de stijging per eenheid aan.

Rekenvoorbeeld

De prijs van appels is €2,40 per kg. Maak een tabel voor 0,5 kg tot 3 kg en geef de formule.

Bepaal de evenredigheidsconstante: k = prijs per kg = 2,40 €/kg. De formule is dus: y = 2,40 · x (met x in kg en y in euro).
Stel de tabel op door voor elke hoeveelheid x de formule te berekenen: y = 2,40 × x.
Controleer: verdubbel je de hoeveelheid, verdubbelt de prijs ook (bv. 1 kg kost €2,40 en 2 kg kost €4,80 = 2 × €2,40 ✓).

Hoeveelheid x (kg)	0,5	1	1,5	2	2,5	3
Prijs y (€)	1,20	2,40	3,60	4,80	6,00	7,20

Formule: y = 2,40 · x De verhouding y/x = 2,40 is overal constant.

Rekenvoorbeeld

Als 5 liter benzine €8,50 kost, hoeveel kost dan 12 liter?

Bereken de evenredigheidsconstante k: $k = \frac{8,50}{5} = 1,70$ €/liter.
Schrijf de formule op: y = 1,70 · x.
Vul x = 12 in: y = 1,70 × 12 = 20,40.

12 liter benzine kost €20,40.

💡 Denkvraag

Een taxi rekent een vaste starttarief van €2,50 en daarna €1,80 per km. Is de totaalprijs rechtstreeks evenredig met het aantal kilometer? Waarom wel of niet?

Omgekeerde evenredigheid

Bij omgekeerde evenredigheid neemt de ene grootheid toe terwijl de andere afneemt. Hoe meer arbeiders, hoe korter de bouwtijd; hoe hoger de snelheid, hoe korter de reistijd. Het essentiële kenmerk is dat het product van de twee grootheden altijd gelijk blijft.

Begrip Omgekeerde evenredigheid

Twee grootheden x en y zijn omgekeerd evenredig als er een vast getal k ≠ 0 bestaat zodat x · y = k, of equivalent: y = k / x.

De formule en de constante

Omgekeerde evenredigheid — formule

y = \frac{k}{x} met k = x \cdot y

Stelling — Kenmerk van omgekeerde evenredigheid

Bij omgekeerde evenredigheid is het product x · y constant voor alle waarden. Als x verdubbelt, halveert y; als x verdrievoudigt, wordt y driemaal kleiner.

Eigenschappen

Als x verdubbelt, halveert y.
Als x halveert, verdubbelt y.
x = 0 is niet mogelijk (je zou door nul delen).
De grafiek is een hyperbool: een gebogen kurve die de assen nadert maar nooit raakt.

Grafiek van de omgekeerde evenredigheid y = 6/x. De hyperbool nadert de assen maar raakt ze nooit. Het product x · y = 6 is overal constant.

Rekenvoorbeeld

4 arbeiders bouwen een muur in 6 dagen. Hoe lang duurt het voor 8 arbeiders?

Het aantal arbeiders en de bouwtijd zijn omgekeerd evenredig: meer arbeiders → kortere tijd.
Bereken de constante k = aantal arbeiders × aantal dagen = 4 × 6 = 24 arbeider·dagen.
Voor 8 arbeiders: $t = \frac{24}{8} = 3$ dagen.

8 arbeiders bouwen de muur in 3 dagen.

Rekenvoorbeeld

Bij 60 km/u duurt een rit 4 uur. Hoe lang duurt dezelfde rit bij 80 km/u?

Snelheid en reistijd zijn omgekeerd evenredig (de afstand blijft gelijk).
Bereken de constante k = snelheid × tijd = 60 × 4 = 240 km (dit is de afstand).
Bij 80 km/u: $t = \frac{240}{80} = 3$ uur.

Bij 80 km/u duurt de rit 3 uur.

💡 Denkvraag

Als 3 kranen een zwembad vullen in 8 uur, hoelang doet 1 kraan er dan over? En 12 kranen? Wat is de constante k in dit verband?

Grafieken lezen en tekenen

Een grafiek is een krachtig hulpmiddel om verbanden visueel voor te stellen. Je leest er informatie uit af, herkent patronen en stelt snel vast of een verband lineair, gebogen of iets anders is. Drie veelgebruikte grafieksoorten zijn het lijndiagram, het staafdiagram en het spreidingsdiagram.

Soorten grafieken

Lijndiagram: punten verbonden door lijnen; geschikt om verloop in de tijd of een continu verband te tonen.
Staafdiagram: losse staven; geschikt voor afzonderlijke categorieën (bv. maanden, leerlingen).
Spreidingsdiagram (puntenwolk): losse punten zonder verbindingslijn; geschikt om te zien of twee grootheden een verband hebben.

Een grafiek correct lezen

Titel: wat stelt de grafiek voor?
x-as (horizontaal): welke grootheid, met welke eenheid?
y-as (verticaal): welke grootheid, met welke eenheid?
Schaal: wat stelt elke verdeling op de as voor?
Lees altijd nauwkeurig: ga van een punt op de kurve loodrecht omlaag (of omhoog) naar de assen.

Stijgen, dalen, constant

De helling van een lijn vertelt je hoe snel y verandert als x toeneemt:

Stijgend: y neemt toe als x toeneemt (positieve helling, k > 0).
Dalend: y neemt af als x toeneemt (negatieve helling, k < 0).
Constant (horizontaal): y verandert niet als x toeneemt (helling = 0).

Stelling — Richtingscoëfficiënt

Bij de rechte y = k·x is k de helling (richtingscoëfficiënt) van de lijn. Hoe groter |k|, hoe steiler de lijn. k > 0 geeft een stijgende lijn; k < 0 een dalende lijn.

Rekenvoorbeeld

Lees uit de grafiek hieronder: hoe snel rijdt de bus, hoe lang staat hij stil en hoe lang duurt de volledige rit?

In de eerste fase (0 tot 30 min) legt de bus 36 km af: snelheid = 36/0,5 uur = 72 km/u.
Tussen 30 en 45 minuten is de lijn horizontaal (afstand = constant): de bus staat 15 minuten stil.
In de tweede fase (45 tot 75 min) legt hij nog eens 48 km af: snelheid = 48/0,5 uur = 96 km/u.
De totale rit duurt 75 minuten (de x-as loopt tot 75).

Eerste fase: 72 km/u. Stop: 15 min. Tweede fase: 96 km/u. Totale duur: 75 minuten.

Afstand-tijd grafiek van een busrit. Fase 1 (0–30 min): constante snelheid 72 km/u. Stop (30–45 min): geen afstandswinst. Fase 2 (45–75 min): snellere vaart, 96 km/u.

💡 Denkvraag

Wat zou een dalende lijn op een afstand-tijd grafiek betekenen? Kan een bus echt “achteruit rijden” in een afstand-tijd grafiek, of betekent het iets anders?

Formules omvormen

Een formule legt een verband vast tussen meerdere grootheden. Soms wil je die formule herschrijven om een andere grootheid te isoleren. Dit heet een formule omvormen of vrijstellen. De gouden regel is simpel: wat je aan één kant van het gelijkteken doet, doe je ook aan de andere.

Systematische aanpak

Schrijf de formule op.
Beslis welke variabele je wil isoleren (vrijstellen).
Pas inverse operaties toe in omgekeerde volgorde: vermenigvuldiging ↔ deling; optelling ↔ aftrekking; kwadraat ↔ vierkantswortel.
Controleer je antwoord door de originele waarden terug in te vullen.

Stelling — Inversie-aanpak bij omvormen

Gebruik inverse operaties in omgekeerde volgorde. Als een formule eerst vermenigvuldigt en dan optelt, maak je hem ongedaan door eerst af te trekken (inverse van optellen) en dan te delen (inverse van vermenigvuldigen).

Rekenvoorbeeld

Vorm de formule $V = l \cdot b \cdot h$ om naar h (de hoogte).

Startformule: $V = l \cdot b \cdot h$
Deel beide kanten door l · b: $\frac{V}{l \cdot b} = h$
Schrijf netjes: $h = \frac{V}{l \cdot b}$

$h = \frac{V}{l \cdot b}$

Rekenvoorbeeld

Vorm $O = 2 π r$ om naar r (de straal).

Startformule: $O = 2 π r$
Deel beide kanten door 2π: $\frac{O}{2 π} = r$
Schrijf netjes: $r = \frac{O}{2 π}$

$r = \frac{O}{2 π}$

Rekenvoorbeeld

Vorm $A = π r^{2}$ om naar r.

Startformule: $A = π r^{2}$
Deel beide kanten door π: $\frac{A}{π} = r^{2}$
Neem de vierkantswortel van beide kanten (met r > 0): $r = \sqrt{\frac{A}{π}}$

$r = \sqrt{\frac{A}{π}}$

💡 Denkvraag

De formule voor kinetische energie is $E = \frac{1}{2} m v^{2}$ . Hoe zou je die omvormen naar v? Welke stappen zijn nodig?

Verbanden in tabellen

Een tabel van waarden laat je toe om snel het type verband te herkennen. Je berekent verhoudingen of producten van de tabelwaarden en controleert of die constant zijn.

Een tabel opstellen uit een formule

Kies een reeks waarden voor x, vul ze in de formule in en bereken de bijhorende y-waarden. Schrijf alles netjes in een tabel met twee rijen (of kolommen): één voor x en één voor y.

Type verband herkennen

Type verband	Formule	Kenmerk in de tabel
Rechtstreeks evenredig	y = kx	y/x is constant
Omgekeerd evenredig	y = k/x	x · y is constant
Kwadratisch	y = kx²	y/x² is constant

Rekenvoorbeeld

Gegeven de tabel hieronder met x: 1, 2, 3, 4 en y: 3, 12, 27, 48. Welk type verband is het?

Test rechtevenredigheid: y/x = 3/1=3; 12/2=6; 27/3=9; 48/4=12. Dit is niet constant → geen rechtevenredigheid.
Test omgekeerde evenredigheid: x·y = 1×3=3; 2×12=24; 3×27=81; 4×48=192. Dit is niet constant → geen omgekeerde evenredigheid.
Test kwadratisch verband: y/x² = 3/1=3; 12/4=3; 27/9=3; 48/16=3. Dit is constant = 3 → kwadratisch verband!
De formule is dus y = 3x².

x	1	2	3	4
y	3	12	27	48
y / x	3	6	9	12
x · y	3	24	81	192
y / x²	3	3	3	3

Het verband is kwadratisch: y = 3x². De verhouding y/x² = 3 is constant.

Stappenplan voor patroonherkenning

Bereken y/x voor elke kolom. Constant? → Rechtevenredig.
Bereken x·y voor elke kolom. Constant? → Omgekeerd evenredig.
Bereken y/x² voor elke kolom. Constant? → Kwadratisch.

💡 Denkvraag

Gegeven de tabel: x = 2, 4, 8, 16 en y = 60, 30, 15, 7,5. Welk type verband is dit? Bepaal de constante k en schrijf de formule op.

Oefeningen

Oefening 1

Type verband herkennen uit een tabel

Bepaal voor elk van de volgende tabellen het type verband (rechtstreeks evenredig, omgekeerd evenredig of kwadratisch) en verklaar je antwoord.

x: 1, 2, 3, 4 | y: 5, 10, 15, 20
x: 1, 2, 4, 5 | y: 20, 10, 5, 4
x: 1, 2, 3, 4 | y: 2, 8, 18, 32
x: 2, 4, 6, 8 | y: 3, 6, 9, 12

Tip: bereken y/x, x·y en y/x² en kijk welke constant is.

Oefening 2

De constante k bepalen

Bepaal de evenredigheidsconstante k en schrijf de bijhorende formule op.

Rechtevenredigheid: als x = 7, dan y = 42.
Omgekeerde evenredigheid: als x = 9, dan y = 8.
Rechtevenredigheid: als x = 0,4, dan y = 2,8.
Omgekeerde evenredigheid: als x = 15, dan y = 4.

Oefening 3

Berekenen bij rechtstreekse evenredigheid

Gebruik de formule y = kx om de gevraagde waarden te berekenen.

k = 3,5. Bereken y als x = 8. Bereken x als y = 31,5.
Een auto rijdt met een constante snelheid van 90 km/u. Schrijf de formule voor de afgelegde afstand en bereken hoever de auto rijdt in 2,5 uur.
1 kilogram tomaten kost €3,20. Hoeveel kosten 4,5 kilogram tomaten?

Tip: bepaal eerst k en schrijf de formule; vul dan in.

Oefening 4

Berekenen bij omgekeerde evenredigheid

Gebruik de formule y = k/x om de gevraagde waarden te berekenen.

k = 36. Bereken y als x = 9. Bereken x als y = 4.
6 schilders verven een gevel in 5 dagen. Hoelang doet 1 schilder er over? En 15 schilders?
Een auto legt 300 km af. Maak een tabel voor snelheden 50, 60, 75, 100 en 120 km/u en bereken steeds de reistijd.

Oefening 5

Een formule omvormen

Vorm elke formule om naar de aangegeven variabele. Toon alle stappen.

$P = 2 (l + b)$ naar b
$A = \frac{1}{2} b h$ naar h
$v = \frac{d}{t}$ naar t
$E = m \cdot g \cdot h$ naar m
$A = π r^{2}$ naar r (met r > 0)

Tip: pas steeds dezelfde operatie toe op beide leden van het gelijkteken.

Oefening 6

Een grafiek interpreteren

Een fietser legt een parcours af. Zijn afstand-tijd grafiek verloopt als volgt: van 0 tot 20 min legt hij 8 km af; van 20 tot 30 min staat hij stil; van 30 tot 50 min legt hij nog eens 12 km af.

Teken de grafiek op een geruit blad (x-as: tijd in min, y-as: afstand in km).
Wat is de gemiddelde snelheid in de eerste fase? (in km/u)
Wat is de gemiddelde snelheid in de tweede fase?
Wat is de totale afgelegde afstand?
Is de totale rit een rechtevenredig verband? Verklaar.

Tip: gemiddelde snelheid = afstand / tijd. Vergeet niet om minuten om te zetten naar uren.

Evenredigheiden formules

Evenredigheid en formules

Rechtevenredigheid

De formule en de constante

Eigenschappen

Omgekeerde evenredigheid

De formule en de constante

Eigenschappen

Grafieken lezen en tekenen

Soorten grafieken

Een grafiek correct lezen

Stijgen, dalen, constant

Formules omvormen

Systematische aanpak

Verbanden in tabellen

Een tabel opstellen uit een formule

Type verband herkennen

Stappenplan voor patroonherkenning

Oefeningen

Samenvatting

Evenredigheid
en formules