Van zwembaden tot ijshoorntjes — de ruimte die 3D-figuren innemen
Hoeveel water past er in een zwembad? Hoeveel verf heb je nodig voor een cilindervormig opslagvat? Inhoud (volume) beschrijft hoeveel ruimte een 3D-figuur inneemt. In dit hoofdstuk leer je de formules voor de meest voorkomende ruimtelijke figuren en oefen je met eenhedenconversies.
Als je een doos vult met kleine blokjes van 1 cm × 1 cm × 1 cm, dan geeft het aantal blokjes dat past de inhoud (of het volume) aan. Volume is een maat voor de hoeveelheid driedimensionale ruimte die een figuur of voorwerp inneemt.
De inhoud of het volume van een ruimtelijke figuur is de maat voor de hoeveelheid driedimensionale ruimte die die figuur inneemt. Volume wordt uitgedrukt in kubieke eenheden.
Net zoals we voor oppervlakte vierkante eenheden gebruiken (cm², m², …), gebruiken we voor inhoud kubieke eenheden. De eenheid hangt af van de grootte van het object:
| Eenheid | Gelijk aan | Ook gelijk aan |
|---|---|---|
| 1 m³ | 1 000 dm³ | 1 000 000 cm³ |
| 1 dm³ | 1 liter (l) | 1 000 cm³ |
| 1 cm³ | 1 ml (milliliter) | 0,001 liter |
| 1 liter | 1 000 ml | 1 dm³ = 1 000 cm³ |
| 1 cl (centiliter) | 10 ml | 10 cm³ |
1 dm³ = 1 liter — dit is de brug tussen kubieke eenheden en vloeistofmaten.
Van grotere naar kleinere eenheid: vermenigvuldig met 1 000.
Van kleinere naar grotere eenheid: deel door 1 000.
Voorbeeld: 3,5 m³ = 3 500 dm³ = 3 500 liter = 3 500 000 cm³
Als je weet hoe zwaar een stof is per volume-eenheid, kun je de massa berekenen. Dit noemen we de dichtheid (ρ, uitgesproken als “rho”).
Hierbij is ρ de dichtheid (in kg/m³ of g/cm³), m de massa (in kg of g) en V het volume (in m³ of cm³). Water heeft een dichtheid van 1 g/cm³ (of 1 000 kg/m³): 1 cm³ water weegt precies 1 gram. Dit maakt de rekening handig: 1 liter water weegt 1 kilogram.
Een ijsblokje heeft een volume van 8 cm³. IJswater heeft een dichtheid van 0,92 g/cm³. Wat is de massa van het ijsblokje? En als het smelt en water wordt (dichtheid 1 g/cm³), neemt het dan meer of minder volume in?
Een prisma is een ruimtelijk figuur met twee gelijke en evenwijdige vlakke grondvlakken die met rechthoekige zijvlakken verbonden zijn. De basisformule voor de inhoud van elk prisma is:
Hierbij is Agrond de oppervlakte van het grondvlak en H de hoogte van het prisma (de loodrechte afstand tussen de twee grondvlakken).
Een quader (ook wel balk of rechthoekig blok genoemd) heeft een rechthoekig grondvlak. De inhoud is het product van lengte, breedte en hoogte.
Een kubus is een speciaal geval van de quader waarbij alle ribben gelijk zijn. Als de riblengte z is, dan geldt:
Dit lees je als “z tot de derde macht” of “z hoog 3”. Vandaar ook de naam “derde macht”: het is het volume van een kubus met riblengte z.
Als het grondvlak een driehoek is met basis g en hoogte hgrond, dan is de oppervlakte van het grondvlak × g × hgrond.
Bereken de inhoud van een balk met afmetingen 6 cm × 4 cm × 3 cm.
Antwoord: V = 72 cm³
Een aquarium is 80 cm lang, 40 cm breed en 50 cm hoog. Hoeveel liter water past erin (wanneer volledig gevuld)?
Antwoord: 160 000 cm³ = 160 liter
Een cilinder heeft twee cirkelvormige grondvlakken en een gebogen zijvlak. Een kegel heeft één cirkelvormig grondvlak en loopt toe naar een punt (de top).
Een kegel met dezelfde straal r en dezelfde hoogte h als een cilinder heeft precies 1/3 van de inhoud van die cilinder.
Je hebt dus precies drie kegels nodig om een cilinder te vullen met dezelfde r en h. Dit kan je zelf bewijzen door de formules te vergelijken: Vkegel = ⅓ × Vcilinder.
Bereken de inhoud van een cilinder met straal 5 cm en hoogte 12 cm. Gebruik π ≈ 3,1416.
Antwoord: V = 300π ≈ 942,5 cm³
Bereken de inhoud van een kegel met straal 3 cm en hoogte 8 cm.
Antwoord: V = 24π ≈ 75,4 cm³
Een ijshoorntje heeft de vorm van een kegel met straal 3,5 cm en hoogte 14 cm. Hoeveel cm³ ijs past er maximaal in het hoorntje?
Antwoord: V ≈ 179,6 cm³ ijs past maximaal in het hoorntje.
Een bol is de verzameling van alle punten in de ruimte die op gelijke afstand (de straal r) liggen van een vast middelpunt. De Griekse wiskundige en uitvinder Archimedes (287–212 v.C.) berekende als eerste de inhoud van een bol. Het resultaat staat op zijn grafsteen: de bol past precies in een cilinder met dezelfde straal en hoogte 2r, en vult daar precies ⅔ van.
Archimedes bewees dat een bol met straal r precies ⅔ van de inhoud heeft van de kleinste cilinder die de bol omsluit (straal r, hoogte 2r). Hij beschouwde dit als zijn mooiste ontdekking. De formule V =
Een voetbal heeft een straal van 11 cm. Bereken de inhoud.
Antwoord: V ≈ 5 575 cm³
De inhoud van een bol bedraagt 288π cm³. Bepaal de straal.
Antwoord: r = 6 cm
Het totale oppervlak (TO) van een ruimtelijke figuur is de som van de oppervlakten van alle vlakken (zijvlakken + grondvlakken) samen. Je kunt dit visualiseren door de figuur “open te vouwen” tot een plat netwerk — het uitgebreid oppervlak of net.
Het totaal oppervlak van een ruimtelijk figuur is de totale oppervlakte van alle buitenvlakken samen. Je berekent het door de oppervlakten van alle vlakken op te tellen. Het wordt uitgedrukt in vierkante eenheden (cm², m², …).
Een quader heeft 6 rechthoekige vlakken: twee vlakken van l × b, twee van l × h, en twee van b × h.
Een cilinder heeft twee cirkelvormige grondvlakken (elk met oppervlakte πr²) en een gebogen zijvlak. Als je dat zijvlak “oprolt”, krijg je een rechthoek met breedte h en lengte gelijk aan de omtrek van de cirkel (2πr).
Bereken het totale oppervlak van een kubus met riblengte 4 cm.
Antwoord: TO = 96 cm²
Hoeveel blik (in cm²) is nodig voor een cilindervormig conservenblik met straal r = 4 cm en hoogte h = 10 cm?
Antwoord: je hebt ≈ 351,9 cm² blik nodig.
Een vlotte beheersing van eenhedenconversies is onmisbaar in de wiskunde en de exacte wetenschappen. De volgende tabel geeft een volledig overzicht van de meest gebruikte eenheden voor lengte, oppervlakte, inhoud en capaciteit.
| Eenheid | Symbool | Gelijk aan |
|---|---|---|
| kilometer | km | 1 000 m |
| hectometer | hm | 100 m |
| decameter | dam | 10 m |
| meter | m | basisunit |
| decimeter | dm | 0,1 m = 10 cm |
| centimeter | cm | 0,01 m |
| millimeter | mm | 0,001 m |
| Eenheid | Gelijk aan | Omzetting |
|---|---|---|
| 1 km² | 1 000 000 m² | × 10⁶ |
| 1 m² | 100 dm² | × 100 |
| 1 dm² | 100 cm² | × 100 |
| 1 cm² | 100 mm² | × 100 |
| 1 ha (hectare) | 10 000 m² | = 100 a |
| 1 a (are) | 100 m² |
| Eenheid | Gelijk aan | Capaciteit |
|---|---|---|
| 1 m³ | 1 000 dm³ | 1 000 liter = 1 kl |
| 1 dm³ | 1 000 cm³ | 1 liter |
| 1 cm³ | 1 000 mm³ | 1 ml |
| 1 liter (l) | 10 dl | 100 cl = 1 000 ml |
| 1 dl (deciliter) | 100 ml | = 100 cm³ |
| 1 cl (centiliter) | 10 ml | = 10 cm³ |
Van grotere naar kleinere eenheid: vermenigvuldig.
Van kleinere naar grotere eenheid: deel.
Voor kubieke eenheden geldt: elke stap op de ladder is een factor 1 000 (niet 10 zoals bij lengtematen, en niet 100 zoals bij oppervlaktematen).
Geheugensteuntje: l → opp → vol = ×10, ×100, ×1000 per stap op de ladder.
Zet 2,5 m³ om naar liter en naar cm³.
Antwoord: 2,5 m³ = 2 500 liter = 2 500 000 cm³
Oefening 1
Inhoud van een quader (balk)
Bereken de inhoud van elk rechthoekig blok. Zet het antwoord ook om naar liter als het gevraagd wordt.
Tip: let op de eenheden. Zet eerst alles om naar dezelfde eenheid voor je berekent.
Oefening 2
Inhoud van een cilinder
Bereken de inhoud van de cilinders. Geef het antwoord exact (met π) en bij benadering (≈). Gebruik π ≈ 3,1416.
Tip: vergeet niet dat de oppervlakte van de cirkel πr² is, met r de straal (niet de diameter).
Oefening 3
Inhoud van een kegel en een bol
Bereken de gevraagde inhouden.
Tip: voor de bol gebruik je V = πr³. Om de straal te vinden, zet je de formule om zodat r³ vrijkomt.
Oefening 4
Totaal oppervlak
Bereken het totale oppervlak van de gegeven figuren.
Tip: voor de koker (open aan beide zijden) bereken je alleen het zijvlak: 2πrh.
Oefening 5
Eenhedenconversies
Zet de volgende maten om naar de gevraagde eenheid.
Tip: teken de omzettingstrap en ga stap voor stap, waarbij je elke keer met 1 000 vermenigvuldigt of deelt.
Oefening 6
Toepassingsprobleem — Zwembad en watertoren
Los de volgende toepassingsproblemen op. Toon je redenering en de juiste eenheden.
Tip: bij vraag 2 bereken je eerst in m³ en zet je dan om naar liter (1 m³ = 1 000 liter).
| Figuur | Inhoud (V) | Totaal oppervlak (TO) |
|---|---|---|
| Quader (l × b × h) | l × b × h | 2(lb + lh + bh) |
| Kubus (riblengte z) | z³ | 6z² |
| Driehoekig prisma | ½ × g × hgr × H | — |
| Cilinder (r, h) | πr²h | 2πr(r + h) |
| Kegel (r, h) | ⅓πr²h | — |
| Bol (r) | ⅓×4 × πr³ = 4/3πr³ | 4πr² |