Van het vierkant tot de vlieger — en de cirkel, de meest symmetrische figuur van allemaal
Vier hoeken, vier zijden — maar welk een verscheidenheid! Van het vierkant tot de vlieger, van de ruit tot de trapezium. En dan de cirkel, de meest symmetrische vlakke figuur van allemaal. In dit hoofdstuk leer je de eigenschappen van alle belangrijke vierhoeken en van de cirkel kennen.
Een vierhoek is een vlakke figuur die begrensd wordt door precies 4 rechte zijden en 4 hoeken. De zijden verbinden de vier hoekpunten met elkaar. Alle figuren die je in dit hoofdstuk tegenkomt — parallelogrammen, rechthoeken, ruiten, vierkanten, trapeziums en vliegers — zijn vierhoeken.
Een vierhoek is een vlakke figuur met 4 zijden, 4 hoeken en 4 hoekpunten. De zijden mogen niet over elkaar kruisen (een gewone of convexe vierhoek). De som van alle binnenhoeken is altijd 360°.
De som van de vier binnenhoeken van een willekeurige vierhoek is steeds 360°.
Bewijs (idee): elke vierhoek kan verdeeld worden in twee driehoeken door een diagonaal te tekenen. De hoekensomstelling voor driehoeken geeft 2 × 180° = 360°.
Niet alle vierhoeken zijn gelijk: sommige hebben extra eigenschappen. Zo heeft een parallelogram twee paar evenwijdige zijden, een rechthoek is een bijzonder parallelogram met rechte hoeken, en een vierkant combineert de eigenschappen van zowel de rechthoek als de ruit. De figuur hieronder toont hoe de verschillende vierhoeken zich tot elkaar verhouden.
Bekijk de hiërarchie. Is elk vierkant ook een rechthoek? Is elke rechthoek ook een vierkant? Leg het verschil uit met een voorbeeld.
De vier belangrijkste bijzondere vierhoeken vormen een familie: elk is een speciaal geval van de vorige. We bespreken ze achtereenvolgens, telkens met hun definitie, eigenschappen en een illustratie.
Een parallelogram is een vierhoek waarbij de tegenovergestelde zijden evenwijdig zijn. Dat wil zeggen: de twee paar overstaande zijden lopen nooit naar elkaar toe of van elkaar weg.
Eigenschappen van het parallelogram:
Een rechthoek is een parallelogram waarbij alle vier de hoeken rechte hoeken zijn (elk 90°). Omdat het een parallelogram is, gelden ook alle eigenschappen van het parallelogram.
Extra eigenschappen van de rechthoek (bovenop die van het parallelogram):
Een ruit is een parallelogram waarbij alle vier de zijden gelijk van lengte zijn. Een ruit heeft de vorm van een scheve ruit of diamant.
Extra eigenschappen van de ruit (bovenop die van het parallelogram):
Een vierkant is tegelijk een rechthoek en een ruit: het heeft 4 gelijke zijden en 4 rechte hoeken. Het vierkant is de meest bijzondere vierhoek in de parallellogramfamilie.
Alle eigenschappen van het vierkant:
Parallelogram: diagonalen halveren elkaar.
Rechthoek: diagonalen halveren elkaar én zijn gelijk van lengte.
Ruit: diagonalen halveren elkaar én staan loodrecht op elkaar.
Vierkant: diagonalen halveren elkaar, zijn gelijk van lengte én staan loodrecht op elkaar.
Naast de parallelogramfamilie zijn er nog twee belangrijke vierhoeken die je moet kennen: het trapezium en de vlieger. Beide zijn geen parallelogrammen, maar hebben wel hun eigen bijzondere eigenschappen.
Een trapezium is een vierhoek met precies één paar evenwijdige zijden. Die twee evenwijdige zijden noemen we de bases van het trapezium. De andere twee zijden (de poten) zijn niet evenwijdig.
We onderscheiden twee soorten:
In een gelijkbenig trapezium zijn de twee basishoeken (de hoeken bij dezelfde basis) gelijk aan elkaar.
Met andere woorden: als AB ∥ DC en AD = BC, dan is hoek A = hoek B en hoek D = hoek C.
Een vlieger is een vierhoek met twee paar aangrenzende (naast elkaar liggende) zijden die gelijk zijn. De gelijke zijden grenzen aan dezelfde hoekpunten, in tegenstelling tot het parallelogram waar de gelijke zijden tegenover elkaar liggen.
In een vlieger staan de twee diagonalen loodrecht op elkaar. Bovendien halveert de hoofddiagonaal (die de twee hoekpunten verbindt waar ongelijke zijden samenkomen) de andere diagonaal. De langste diagonaal is een symmetrie-as van de vlieger.
Kan een trapezium ook een parallelogram zijn? Kan een vlieger ook een ruit zijn? Bespreek beide gevallen en geef aan wanneer dat wel of niet kan.
De cirkel is de meest symmetrische vlakke figuur: hij ziet er vanuit elke richting hetzelfde uit. Een cirkel kan worden omschreven als de verzameling van alle punten die precies even ver van één vast punt liggen.
Een cirkel is de verzameling van alle punten in een vlak die op een vaste afstand r liggen van een vast punt M, het middelpunt. De vaste afstand r heet de straal van de cirkel.
De omtrek van een cirkel heet ook wel de circumferentie. Om hem te berekenen, hebben we het beroemde getal π (pi) nodig. Dit is een irrationaal getal: π ≈ 3,14159… Het is de verhouding tussen de omtrek en de diameter van elke cirkel, ongeacht de grootte.
De volledige afleiding van deze formules volgt in Hoofdstuk 11. Hier leer je ze al toepassen.
Bereken de omtrek en de oppervlakte van een cirkel met straal r = 5 cm. Gebruik π ≈ 3,14159.
Omtrek ≈ 31,42 cm | Oppervlakte ≈ 78,54 cm²
Als de straal van een cirkel verdubbelt, wat gebeurt er dan met de omtrek? En met de oppervlakte? Redeneer zonder te rekenen, en controleer daarna met de formules.
Wanneer je hoeken tekent die te maken hebben met een cirkel, zijn er twee belangrijke soorten: de middelpuntshoek en de omtrekshoek (ook: ingeschreven hoek). Ze hangen op een elegante manier met elkaar samen.
Een middelpuntshoek is een hoek waarvan het hoekpunt in het middelpunt M van de cirkel ligt, en waarvan de twee benen door punten op de cirkel gaan. De bogen die de benen afsnijden, worden bepaald door deze hoek.
Een omtrekshoek is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel zelf ligt, en waarvan de twee benen koorden zijn die op dezelfde boog steunen als de bijbehorende middelpuntshoek.
Een omtrekshoek is steeds de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog steunt.
Alle omtrekshoeken op dezelfde boog zijn ook onderling gelijk aan elkaar.
Als de koorde waarop de omtrekshoek steunt een diameter is, dan is de omtrekshoek gelijk aan 90°.
Met andere woorden: elk punt op een cirkel “ziet” de diameter onder een rechte hoek. Dit is de stelling van Thales.
Bewijs (idee): de diameter stemt overeen met een middelpuntshoek van 180° (een gestrekte hoek). De omtrekshoek is de helft: 180° ÷ 2 = 90°.
Als een middelpuntshoek 80° meet, hoe groot is dan de bijbehorende omtrekshoek? En als een omtrekshoek 35° meet, hoe groot is dan de middelpuntshoek? Gebruik de stelling om te redeneren.
Oefening 1
Vierhoeken herkennen aan hun eigenschappen
Geef de naam van de vierhoek die voldoet aan de gegeven eigenschappen. Er kan meer dan één antwoord mogelijk zijn — geef de meest bijzondere naam.
Tip: gebruik de hiërarchie uit sectie 1. Begin met de meest algemene naam en werk naar de meest bijzondere.
Oefening 2
Ontbrekende hoek in een vierhoek berekenen
Bereken de ontbrekende hoek in elke vierhoek. De som van de hoeken is altijd 360°.
Tip: voor het parallelogram: aanliggende hoeken zijn supplementair (samen 180°). Tegenovergestelde hoeken zijn gelijk.
Oefening 3
Eigenschappen van bijzondere vierhoeken
Beantwoord de volgende vragen over vierhoeken en hun eigenschappen.
Tip voor vraag 2: teken de situatie. De halve diagonalen en een zijde vormen een rechthoekige driehoek.
Oefening 4
Cirkelberekeningen
Bereken de gevraagde grootheden. Gebruik π ≈ 3,14 of laat je antwoord in termen van π.
Tip voor vraag 4: de oppervlakte schaalt als het kwadraat van de straal. Als de straal verdubbelt, wordt de oppervlakte 4 keer zo groot.
Oefening 5
Ingeschreven hoekstelling
Pas de ingeschreven hoekstelling en de stelling van Thales toe.
Tip voor vraag 3: controleer of P aan dezelfde kant of de andere kant van de boog AB ligt als M. Dat bepaalt of de omtrekshoek = ½ × middelpuntshoek of = 180° − ½ × middelpuntshoek.
Oefening 6
Ontwerpvraagstuk — plattegrond met cirkelvormige en rechthoekige ruimtes
Een architect ontwerpt een kleine recreatiezaal. De zaal is rechthoekig met afmetingen 12 m × 8 m. In de zaal worden twee cirkelvormige ruimtes (eethoeken) ingetekend, elk met een straal van 2 m. De rest van de vloer is open ruimte.
Uitdaging voor vraag 5: de diagonaal van het ingeschreven vierkant is gelijk aan de diameter van de cirkel. Gebruik de relatie d = z√2 voor een vierkant met zijde z.