Meten, benoemen en de kracht van de driehoek ontdekken
Hoeken zijn overal: in architectuur, in sport, in de natuur. Een driehoek is de eenvoudigste en stevigste vlakke figuur — bruggen en dakconstructies zijn vol driehoeken. In dit hoofdstuk leer je hoeken meten, benoemen en de eigenschappen van driehoeken onderzoeken.
Een hoek ontstaat wanneer twee stralen vanuit hetzelfde punt vertrekken. Dat gemeenschappelijke punt noemen we het hoekpunt. De twee stralen zijn de benen van de hoek. De grootte van een hoek geeft aan hoe wijd de benen van elkaar staan.
Een hoek is de figuur die gevormd wordt door twee stralen die vanuit hetzelfde punt (het hoekpunt) vertrekken. De grootte van een hoek wordt uitgedrukt in graden (°).
Hoeken meten we in graden, aangeduid met het symbool °. Een volle hoek — een volledige omwenteling — is gelijk aan 360°. Dit stelsel gaat terug op de oude Babyloniërs, die 360 als een handig getal beschouwden omdat het door veel getallen deelbaar is.
We meten hoeken met een gradenboog (of transporteur): een halfcirkel met schaalverdeling van 0° tot 180°. Om een hoek te meten, leg je het middelpunt van de gradenboog op het hoekpunt en lijn je een been uit met de nul-markering.
Op basis van hun grootte onderscheiden wiskundigen vijf soorten hoeken:
De som van alle hoeken die samen een gestrekte hoek vormen (hoeken op een rechte lijn), is gelijk aan 180°. Als twee hoeken samen een gestrekte hoek vormen, zijn het supplementaire hoeken.
Een hoek is 3 keer zo groot als zijn supplement. Hoe groot zijn beide hoeken?
Antwoord: de twee hoeken zijn 45° en 135°.
Wanneer twee rechten elkaar snijden, of wanneer een dwarslijn twee parallelle rechten snijdt, ontstaan er bijzondere relaties tussen de gevormde hoeken. Deze relaties zijn essentieel in de meetkunde en komen bij talloze bewijzen en toepassingen terug.
Twee hoeken zijn supplementair als hun som gelijk is aan 180°. Ze vullen samen een gestrekte hoek aan. Voorbeeld: 70° en 110° zijn supplementair, want 70° + 110° = 180°.
Twee hoeken zijn complementair als hun som gelijk is aan 90°. Ze vullen samen een rechte hoek aan. Voorbeeld: 30° en 60° zijn complementair, want 30° + 60° = 90°.
Als twee rechten elkaar snijden, worden vier hoeken gevormd. De hoeken die tegenover elkaar liggen — niet naast elkaar — noemen we koekhoeken of overstaande hoeken. Een belangrijk feit is dat koekhoeken altijd gelijk zijn aan elkaar.
Bij twee snijdende rechten zijn de overstaande hoeken (koekhoeken) aan elkaar gelijk. Als hoek α en hoek β naast elkaar liggen (supplementair), dan geldt: de overstaande hoek van α = α, en de overstaande hoek van β = β.
Als een dwarslijn (transversaal) twee parallelle lijnen snijdt, onstaan acht hoeken. Sommige paren van die hoeken hebben bijzondere eigenschappen:
Als de dwarslijn loodrecht op de parallelle lijnen staat, hoe groot zijn dan alle acht gevormde hoeken? Beredeneer je antwoord zonder te meten.
Een driehoek is een veelhoek met drie zijden en drie hoeken. We noemen de hoekpunten gewoonlijk A, B en C, en de tegenoverliggende zijden respectievelijk a, b en c. Driehoeken kunnen op twee manieren worden ingedeeld: naar hun zijden of naar hun hoeken.
De som van de drie binnenhoeken van elke driehoek is gelijk aan 180°.
Als de hoeken van een driehoek α, β en γ zijn, dan geldt: α + β + γ = 180°.
Bereken de ontbrekende hoek in een driehoek met hoeken 47° en 68°.
Antwoord: de ontbrekende hoek is 65°.
In elke driehoek kunnen we vier belangrijke typen lijnstukken of rechten tekenen. Elk type heeft zijn eigen definitie en eigenschappen. Ze spelen een grote rol in constructies, bewijzen en toepassingen in de meetkunde.
Een zwaartelijn verbindt een hoekpunt met het middelpunt van de overliggende zijde. Elke driehoek heeft drie zwaartelijnen. Ze snijden elkaar in het zwaartemiddelpunt (zwaartepunt of centroïde), dat op 2/3 van elke zwaartelijn van het hoekpunt ligt.
De middelloodlijn van een zijde is de rechte die loodrecht staat op die zijde en door het middelpunt ervan gaat. De drie middelloodlijnen snijden elkaar in het omschreven middelpunt (circumcenter): het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
Een bissectrice deelt een hoek in twee gelijke delen. De drie bissectrices van een driehoek snijden elkaar in het ingeschreven middelpunt (incenter): het middelpunt van de ingeschreven cirkel.
Een hoogte is het loodlijn vanuit een hoekpunt op de overliggende zijde (of de verlenging ervan). De lengte van de hoogte is de hoogte van de driehoek ten opzichte van de gekozen basis.
De drie hoogten van een driehoek zijn concurrent: ze snijden elkaar in één punt, het hoogtepunt of de orthocenter. Bij een scherpe driehoek ligt het hoogtepunt binnenin; bij een rechthoekige driehoek valt het samen met het hoekpunt van de rechte hoek; bij een stomphoekige driehoek ligt het buiten de driehoek.
Twee figuren zijn congruent als ze precies dezelfde vorm én dezelfde grootte hebben. Je kunt ze dan over elkaar leggen (eventueel door te draaien of te spiegelen) en ze vallen dan perfect samen. Voor driehoeken bestaan er vier klassieke congruentiegevallen die je toelaten te beslissen of twee driehoeken congruent zijn zonder alle zes elementen (3 zijden en 3 hoeken) te vergelijken.
Twee driehoeken zijn congruent (aangeduid met ≅) als alle overeenkomstige zijden gelijk zijn en alle overeenkomstige hoeken gelijk zijn. We schrijven dan △ABC ≅ △DEF.
Als twee driehoeken alle drie zijden gelijk hebben (ZZZ), dan zijn de driehoeken congruent. De hoeken worden dan automatisch ook gelijk — je hoeft de hoeken niet apart te controleren.
Driehoek ABC heeft zijden a = 5 cm, b = 7 cm, c = 6 cm en hoek C = 44°. Driehoek DEF heeft zijden d = 5 cm, e = 7 cm en hoek F = 44°. Zijn de driehoeken congruent? Zo ja, welk geval?
Antwoord: ja, de driehoeken zijn congruent via congruentiegeval ZHZ (twee zijden en ingesloten hoek).
De stelling van Pythagoras is een van de bekendste en meest gebruikte stellingen in de hele wiskunde. Ze legt een verband tussen de drie zijden van een rechthoekige driehoek. In een latere les worden de bewijzen en uitgebreide toepassingen behandeld; hier leer je de stelling kennen en leer je ze voor eenvoudige berekeningen gebruiken.
In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b en hypotenusa c (de zijde tegenover de rechte hoek), geldt: a² + b² = c². De som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden is gelijk aan het kwadraat van de hypotenusa.
Let op de rol van elke letter: a en b zijn altijd de rechthoekszijden (de kortere zijden die de rechte hoek insluiten), en c is altijd de hypotenusa (de langste zijde, tegenover de rechte hoek).
Bereken de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 3 cm en 4 cm.
Antwoord: de hypotenusa is 5 cm.
Een ladder van 5 m staat tegen een muur. De voet van de ladder staat 3 m van de muur. Hoe hoog reikt de ladder langs de muur? Kun je de stelling van Pythagoras gebruiken om dit te berekenen?
Niet elke combinatie van drie lengtes vormt een driehoek. Probeer maar eens een driehoek te maken met zijden van 2 cm, 3 cm en 10 cm: de twee korte zijden samen (2 + 3 = 5 cm) zijn te kort om de uiteinden van de lange zijde te bereiken. Hierover gaat de driehoeksongelijkheid.
In elke driehoek is de som van twee zijden steeds groter dan de derde zijde. Met zijden a, b en c betekent dat: a + b > c, a + c > b én b + c > a. Voldoet een drietal lengtes niet aan deze voorwaarde, dan bestaat de driehoek niet.
De reden is eenvoudig: de rechte lijn is altijd de kortste weg tussen twee punten. Wil je van punt A naar punt B reizen via een omweg langs C, dan is die omweg (a + b) langer dan de rechtstreekse weg (c).
Kun je een driehoek maken met zijden 7 cm, 4 cm en 4 cm?
Antwoord: ja, een driehoek met zijden 7–4–4 cm is mogelijk.
Er bestaat een mooi verband tussen de hoeken en de zijden van een driehoek. Bekijk een driehoek: de langste zijde ligt altijd tegenover de grootste hoek, en de kortste zijde tegenover de kleinste hoek.
In een driehoek geldt: tegenover een grotere hoek ligt een langere zijde, en omgekeerd. Zijn twee hoeken even groot, dan zijn ook de zijden ertegenover even lang (dat is precies wat we zien in een gelijkbenige driehoek).
Dit verband is handig als controle: meet je in een driehoek dat hoek A de grootste is, dan moet de zijde tegenover A (zijde a) de langste zijn. Klopt dat niet, dan zit er een meetfout in je tekening.
In een driehoek zijn de hoeken 90°, 60° en 30°. Welke zijde is het langst, welke het kortst? En kun je met de driehoeksongelijkheid uitleggen waarom zijden 5 cm, 5 cm en 11 cm samen géén driehoek vormen?
Oefening 1
Hoeken herkennen en benoemen
Classificeer elk van de volgende hoeken als scherp, recht, stomp, gestrekt of reflex.
Tip: een scherpe hoek is strikt kleiner dan 90°, een stompe is strikt groter dan 90° maar kleiner dan 180°, en een reflexhoek is strikt groter dan 180°.
Oefening 2
Supplementaire en complementaire hoeken
Stel een vergelijking op en los op.
Tip: stel de onbekende hoek gelijk aan x en schrijf een vergelijking op basis van de definitie van supplementair (som = 180°) of complementair (som = 90°).
Oefening 3
Ontbrekende hoek in een driehoek
Bereken de ontbrekende hoek in elke driehoek. Gebruik de somstelling (α + β + γ = 180°).
Tip: als je controleert of een driehoek mogelijk is, tel dan de drie hoeken op en kijk of de som 180° is.
Oefening 4
Parallelle lijnen en hoeken
Gegeven: twee parallelle lijnen gesneden door een dwarslijn. Eén der gevormde hoeken is 65°.
Tip: teken het figuur zelf, label alle acht hoeken, en gebruik supplementaire hoeken om de rest te bepalen.
Oefening 5
Congruentie van driehoeken
Bepaal in elk geval of de twee driehoeken congruent zijn. Zo ja, welk congruentiegeval (ZZZ, ZHZ, HZH of RHS)?
Tip: controleer bij ZHZ altijd of de bekende hoek de ingesloten hoek is tussen de twee bekende zijden.
Oefening 6
Stelling van Pythagoras
Bereken de ontbrekende zijde in elke rechthoekige driehoek. Geef je antwoord als een exacte vierkantswortel indien nodig.
Tip: controleer altijd welke zijde de hypotenusa is — dat is altijd de langste zijde in een rechthoekige driehoek.