Hoofdstuk 6

Procenten, verhoudingen en schaal

Procenten spreken iedereen aan: kortingen in winkels, stemresultaten bij verkiezingen, renteberekeningen bij banken. Verhoudingen en schaal verbinden wiskunde met de echte wereld — van kaarttekenen tot recepten en bouwtekeningen.

Procenten

Het woord procent komt van het Latijnse per centum, wat “per honderd” betekent. Een procent is dus een honderdste van een geheel. Wanneer je zegt dat 35% van de leerlingen een 8 of hoger heeft, bedoel je dat er 35 van elke 100 leerlingen dat resultaat behaalt.

Begrip Procent

Een procent (symbool: %) stelt een honderdste voor. Voor elk getal p geldt: $p % = \frac{p}{100}$ . Zo is 1% = 0,01 en 100% = 1 (het volledige geheel).

Omzetten: breuk ↔ procent ↔ decimaal

Dezelfde waarde kan je op drie manieren schrijven: als gewone breuk, als percentage en als decimaal getal. Het is essentieel dat je vlot tussen de drie vormen kunt omwisselen.

Breuk naar procent: vermenigvuldig teller en noemer zodat de noemer 100 wordt, of deel teller door noemer en vermenigvuldig met 100.
Procent naar decimaal: deel het percentage door 100 (verschuif de komma twee plaatsen naar links).
Decimaal naar procent: vermenigvuldig met 100 (verschuif de komma twee plaatsen naar rechts).

Rekenvoorbeeld

Zet $\frac{3}{4}$ om naar een percentage en een decimaal getal.

Breuk naar procent: Zorg dat de noemer 100 wordt. $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 75 %$
Procent naar decimaal: deel door 100. $75 % = \frac{75}{100} = 0, 75$

$\frac{3}{4} = 75 % = 0, 75$

Het percentage van een getal berekenen

Het bepalen van “p% van a” is een van de meest gebruikte berekeningen. Denk aan kortingen, btw en renteberekeningen.

Formule — Percentage van een getal

p % van a = \frac{p}{100} \times a

Rekenvoorbeeld

Hoeveel is 35% van 240?

Schrijf het percentage als breuk: $35 % = \frac{35}{100} = 0, 35$
Vermenigvuldig met 240: $0, 35 \times 240 = 84$

35% van 240 = 84

Rekenvoorbeeld

45 is hoeveel percent van 180?

Deel het deel door het geheel: $\frac{45}{180} = 0, 25$
Vermenigvuldig met 100 om het percentage te krijgen: $0, 25 \times 100 = 25 %$
Samengevat: $\frac{45}{180} \times 100 = 25 %$

45 is 25% van 180.

Toepassingen: kortingsprijzen en btw

In het dagelijks leven kom je procenten heel vaak tegen. Een winkel die 20% korting geeft, betekent dat je van elke €100 slechts €80 betaalt. De Belgische btw (belasting over de toegevoegde waarde) bedraagt voor de meeste goederen en diensten 21%. Dat wil zeggen: als de prijs zonder btw €100 is, betaal je €121 aan de kassa.

💡 Denkvraag

Een gsm kost €400 exclusief btw. Bereken de prijs inclusief 21% btw. Een t-shirt kost €24,20 inclusief 21% btw. Wat is de prijs exclusief btw? Welke berekening is hier anders?

Procentuele toe- en afname

Wanneer een waarde met een bepaald percentage stijgt of daalt, kun je de nieuwe waarde rechtstreeks berekenen met een vermenigvuldigingsfactor. Dit is sneller dan apart het bedrag van de toe- of afname uitrekenen en dat optellen of aftrekken.

Formule — Procentuele toename

Als een waarde met p% toeneemt, geldt:

${waarde}_{nieuw} = {waarde}_{oud} \times (1 + \frac{p}{100})$

Voorbeeld: een toename met 8% geeft een factor van 1,08.

Formule — Procentuele afname

Als een waarde met p% afneemt, geldt:

${waarde}_{nieuw} = {waarde}_{oud} \times (1 - \frac{p}{100})$

Voorbeeld: een afname met 15% geeft een factor van 0,85.

Rekenvoorbeeld

Een jas kost €80. Er is 15% korting. Wat is de nieuwe prijs?

Bepaal de factor bij 15% afname: $1 - \frac{15}{100} = 1 - 0, 15 = 0, 85$
Vermenigvuldig de oorspronkelijke prijs met de factor: $80 \times 0, 85 = 68$

De nieuwe prijs na 15% korting is €68.

De originele prijs (€80 = 100%) gesplitst in de nieuwe prijs (€68 = 85%) en de korting (€12 = 15%).

Rekenvoorbeeld

Een salaris bedraagt €2000 per maand. Het stijgt met 3,5%. Hoeveel is het nieuwe salaris?

Bepaal de factor bij 3,5% toename: $1 + \frac{3}{,} = 1 + 0, 035 = 1, 035$
Vermenigvuldig met het oud salaris: $2000 \times 1, 035 = 2070$

Het nieuwe salaris is €2070 per maand.

Omgekeerde procentuele berekening

Soms ken je de prijs na de korting en wil je weten wat de prijs voor de korting was. Je deelt dan de nieuwe prijs door de vermenigvuldigingsfactor.

Rekenvoorbeeld

Na 20% korting betaal je €96 voor een rugzak. Wat was de originele prijs?

Bij 20% korting geldt: nieuwe prijs = oud × 0,80. Dus: ${prijs}_{oud} = \frac{{prijs}_{nieuw}}{0}$
Vul in: ${prijs}_{oud} = \frac{96}{0, 80} = 120$

De originele prijs was €120. Controle: €120 × 0,80 = €96. ✓

💡 Denkvraag

Een winkel verhoogt de prijs van een artikel met 10% en geeft daarna 10% korting. Is de eindprijs gelijk aan, hoger dan of lager dan de beginprijs? Reken het na met een voorbeeldbedrag.

Verhoudingen

Een verhouding geeft aan hoe twee hoeveelheden zich tot elkaar verhouden. Je schrijft een verhouding als a : b (spreek uit: “a staat tot b”) of als breuk $\frac{a}{b}$ . Verhoudingen worden ook uitgedrukt als decimaal getal of als percentage.

Begrip Verhouding a : b

Een verhouding a : b (met b ≠ 0) geeft de relatieve grootte van twee hoeveelheden aan. Je kunt ze schrijven als breuk $\frac{a}{b}$ , als decimaal getal of als percentage. Een verhouding verandert niet als je teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt of deelt.

Verhouding vereenvoudigen

Net zoals je een breuk vereenvoudigt door teller en noemer te delen door hun grootste gemene deler (ggd), vereenvoudig je een verhouding op dezelfde manier.

Rekenvoorbeeld

Vereenvoudig de verhouding 15 : 20.

Bepaal de grootste gemene deler van 15 en 20: ggd(15, 20) = 5.
Deel beide getallen door 5: $15 : 20 = \frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} = 3 : 4$

15 : 20 in eenvoudigste vorm = 3 : 4.

Rekenvoorbeeld

In een klas zitten 13 meisjes en 17 jongens. Geef de verhouding meisjes : jongens in eenvoudigste vorm.

Schrijf de verhouding op: 13 : 17.
Bepaal de ggd van 13 en 17. Beide zijn priemgetallen en verschillend, dus ggd(13, 17) = 1.
De verhouding is al in eenvoudigste vorm: 13 : 17.
Als decimaal: $\frac{13}{17} \approx 0, 76$ → er zijn ongeveer 76 meisjes per 100 jongens.

Verhouding meisjes : jongens = 13 : 17.

Kettingverhouding a : b : c

Soms vergelijk je drie of meer hoeveelheden tegelijk. Je schrijft dan een kettingverhouding van de vorm a : b : c. Ook die kun je vereenvoudigen door alle termen te delen door hun grootste gemene deler.

Rekenvoorbeeld

Een recept is opgesteld voor 4 personen. Hoeveel ingrediënten heb je nodig voor 6 personen?

Stel de verhouding op: 4 personen staat tot 6 personen = 4 : 6.
Vereenvoudig: ggd(4, 6) = 2, dus 4 : 6 = 2 : 3.
Dit betekent: voor 6 personen heb je $\frac{6}{4}$ = 1,5 keer zoveel nodig als voor 4 personen.
Voorbeeld: het recept vraagt 200 g bloem voor 4 personen. Voor 6 personen: 200 × 1,5 = 300 g bloem.

Vermenigvuldig elk ingrediënt met de factor $\frac{6}{4}$ = 1,5.

💡 Denkvraag

In een verkiezingsuitslag krijgt partij A 45 000 stemmen en partij B 30 000 stemmen. Geef de verhouding A : B in eenvoudigste vorm. Hoeveel procent van de stemmen kreeg elk?

Evenredige verdeling

Bij een evenredige verdeling verdeel je een totaal over meerdere delen, elk in verhouding tot een gegeven getal. De sleutel is het berekenen van de totale som van de verhoudingstermen en vervolgens de waarde van één deel.

Werkwijze bij een verdeling in verhouding a : b:

Som van de termen: a + b
Deel 1 = $\frac{a}{a + b}$ × totaal
Deel 2 = $\frac{b}{a + b}$ × totaal

Rekenvoorbeeld

Verdeel €240 in de verhouding 3 : 5.

Som van de termen: 3 + 5 = 8. Het totaal wordt verdeeld in 8 gelijke stukken.
Deel 1 (verhouding 3): $\frac{3}{8} \times 240 = 90$ €
Deel 2 (verhouding 5): $\frac{5}{8} \times 240 = 150$ €
Controle: 90 + 150 = 240. ✓

Deel 1 = €90 | Deel 2 = €150.

Rekenvoorbeeld

Drie broers erven geld in de verhouding 2 : 3 : 5. Het totale bedrag is €6000. Hoeveel krijgt elk?

Som van de termen: 2 + 3 + 5 = 10.
Broer A (verhouding 2): $\frac{2}{10} \times 6000 = 1200$ €
Broer B (verhouding 3): $\frac{3}{10} \times 6000 = 1800$ €
Broer C (verhouding 5): $\frac{5}{10} \times 6000 = 3000$ €
Controle: 1200 + 1800 + 3000 = 6000. ✓

Broer A: €1200 | Broer B: €1800 | Broer C: €3000.

💡 Denkvraag

Twee vrienden starten een bedrijf. De eerste investeert €3500 en de tweede €1500. Na één jaar maken ze samen €4000 winst. Ze verdelen de winst evenredig met hun investering. Hoeveel krijgt elk?

Schaal

Op een kaart of bouwtekening zijn alle afmetingen verkleind ten opzichte van de werkelijkheid, maar wel in verhouding. De schaal geeft aan hoe groot de verhouding is tussen de afmeting op de tekening en de werkelijke afmeting.

1:n

Begrip Schaal

De schaal van een tekening is de verhouding tussen de afmeting op de tekening en de werkelijke afmeting: $schaal = \frac{afmeting op tekening}{werkelijke afmeting}$ . Een schaal 1 : 50 000 betekent dat 1 eenheid op de tekening 50 000 dezelfde eenheden in werkelijkheid voorstelt.

Bij schaal 1 : 50 000 stelt 1 cm op de kaart dus 50 000 cm = 500 m = 0,5 km in de werkelijkheid voor.

Formule — Werkelijke afstand

d_{werkelijk} = d_{kaart} \times schaalnoemer

Rekenvoorbeeld

Op een kaart met schaal 1 : 25 000 meet je een afstand van 4,5 cm. Hoe ver is dat in werkelijkheid?

Gebruik de formule: werkelijke afstand = kaartafstand × schaalnoemer.
Vul in: $4, 5 \times 25 000 = 112 500 cm$
Zet om naar km: $112 500 cm = 1125 m = 1, 125 km$

De werkelijke afstand is 112 500 cm = 1125 m = 1,125 km.

Rekenvoorbeeld

Een kamer is 6 m lang en 4,5 m breed. Teken ze op schaal 1 : 50. Hoe groot is de tekening?

Zet de maten om naar cm: 6 m = 600 cm en 4,5 m = 450 cm.
Deel door de schaalnoemer 50: $\frac{600}{50} = 12 cm en \frac{450}{50} = 9 cm$

De tekening is 12 cm lang en 9 cm breed.

Plattegrond van een kamer (6 m × 4,5 m) getekend op schaal 1 : 50. De schaalbalk toont hoe 40 pixels op de tekening overeenkomen met 2 m in werkelijkheid.

💡 Denkvraag

Op een kaart van België met schaal 1 : 250 000 meet je de afstand Brussel–Gent als 3,8 cm. Hoeveel kilometer is dat in werkelijkheid? Controleer je antwoord met een internetkaart.

Oefeningen

Oefening 1

Procentberekening

Bereken de gevraagde waarden. Toon steeds je werkwijze.

Bereken 45% van 360.
Hoeveel is 7% van €1200?
18 is hoeveel procent van 72?
Zet om naar procent: $\frac{5}{8}$ en 0,325.
Een klas heeft 28 leerlingen. 7 leerlingen zijn afwezig. Hoeveel procent is aanwezig?

Tip: gebruik de formule p% van a = (p/100) × a. Voor “is wat percent van” deel je het deel door het geheel en vermenigvuldig je met 100.

Oefening 2

Procentuele toe- en afname

Bereken de nieuwe waarden via de vermenigvuldigingsfactor.

Een fiets kost €650. Er is 12% solden. Wat betaal je?
Het aantal bezoekers van een museum steeg met 22% tot 9760. Hoeveel bezoekers waren er het vorige jaar?
Een huis werd vorig jaar gekocht voor €285 000. De waarde steeg met 6,5%. Wat is de huidige waarde?
Na 25% korting kost een jas €75. Wat was de originele prijs?

Tip: voor omgekeerde berekening deel je de nieuwe waarde door de factor (bv. voor 25% korting: factor = 0,75, dus prijs = 75 ÷ 0,75).

Oefening 3

Omgekeerde procentberekening

Bereken de originele waarde voor de procentuele verandering.

Na een stijging van 15% bedraagt de prijs €230. Wat was de originele prijs?
Na een daling van 30% is de temperatuur −14 °C. Wat was de temperatuur voor de daling? (Hint: dit werkt wiskundig hetzelfde, maar let op: de temperatuur kan negatief zijn.)
Een kleding met 40% korting kost nu €54. Wat was de oorspronkelijke prijs?

Tip: stel de vergelijking op: nieuwe waarde = originele waarde × factor. Los dan op voor originele waarde door te delen.

Oefening 4

Verhoudingen vereenvoudigen en omzetten

Breng elke verhouding in eenvoudigste vorm en schrijf ze ook als decimaal.

24 : 36
45 : 30
120 : 80 : 40
In een bushokje staan 8 mannen en 12 vrouwen. Geef de verhouding mannen : vrouwen in eenvoudigste vorm. Hoeveel procent zijn vrouwen?
In een recept staat: gebruik 2 delen suiker op 3 delen bloem op 5 delen boter. Geef de kettingverhouding suiker : bloem : boter in eenvoudigste vorm en bereken hoeveel gram suiker je nodig hebt als je 300 g bloem gebruikt.

Oefening 5

Evenredige verdeling

Verdeel de opgegeven bedragen evenredig.

Verdeel €560 in de verhouding 2 : 5.
Drie kinderen verdelen snoepjes in verhouding 1 : 2 : 3. Er zijn 120 snoepjes. Hoeveel krijgt elk kind?
Twee aannemers werken samen aan een klus. Ze verdelen de betaling van €3750 evenredig met het aantal uren dat ze gewerkt hebben: 25 en 50 uur. Hoeveel krijgt elk?
In een gemeenteraad zetelen drie partijen in verhouding 4 : 3 : 2. De raad telt 27 zetels. Hoeveel zetels heeft elke partij?

Tip: bepaal eerst de som van de verhoudingstermen, bereken dan de waarde van één deel, en vermenigvuldig.

Oefening 6

Schaal — kaart en tekening

Los de schaalproblemen op. Toon steeds je omrekening.

Op een kaart met schaal 1 : 100 000 meten twee steden 7,4 cm van elkaar. Hoe ver zijn ze in werkelijkheid (in km)?
Een tuin is 15 m breed en 22 m lang. Je tekent hem op schaal 1 : 200. Hoe groot is de tekening in cm?
Op een bouwtekening (schaal 1 : 25) meet een muur 14 cm. Hoe lang is de muur in werkelijkheid?
Een wandelpad is in werkelijkheid 3,6 km lang. Op een kaart is dit pad 9 cm. Wat is de schaal van de kaart? Schrijf de schaal als verhouding 1 : n.

Tip: zorg dat je bij schaalberekeningen steeds dezelfde eenheden gebruikt voordat je deelt of vermenigvuldigt.

Procenten, verhoudingenen schaal

Procenten, verhoudingen en schaal

Procenten

Omzetten: breuk ↔ procent ↔ decimaal

Het percentage van een getal berekenen

Toepassingen: kortingsprijzen en btw

Procentuele toe- en afname

Omgekeerde procentuele berekening

Verhoudingen

Verhouding vereenvoudigen

Kettingverhouding a : b : c

Evenredige verdeling

Schaal

Oefeningen

Samenvatting

Procenten, verhoudingen
en schaal