Stel dat je het product 3 × 3 × 3 × 3 wilt opschrijven. Dat kan, maar het is omslachtig. Wiskundigen hebben daar een kortere notatie voor uitgevonden: ze schrijven 3⁴. In het algemeen is een macht een product waarbij hetzelfde getal een aantal keer met zichzelf vermenigvuldigd wordt.

Je leest aⁿ als “a tot de macht n” of “a tot de n”. Twee bijzondere gevallen verdienen extra aandacht: de tweede macht (of het kwadraat) en de derde macht (of de kubus). We zeggen “5 kwadraat” voor 5² en “2 tot de derdemacht” of “2 tot de kubus” voor 2³.

Bijzondere gevallen: a⁰ en a¹

Wat gebeurt er als de exponent 0 of 1 is? Dat zijn twee bijzondere gevallen die je van buiten moet kennen.

Waarom is a⁰ = 1? Je kunt dit begrijpen via de deelregel voor machten (zie sectie 2): als je a³ deelt door a³, krijg je $a^{3-3}=a^0$, maar het resultaat is ook gewoon 1 (want elk getal gedeeld door zichzelf is 1). Dus moet a⁰ = 1 zijn.

Kwadraten en kubussen — handige lijsten

De kwadraten (tweede machten) van 1 tot 15 en de kubussen (derde machten) van 1 tot 5 zijn zo vaak nodig dat het loont ze te kennen.

Net als voor optelling en vermenigvuldiging zijn er vaste rekenregels voor machten. Met deze regels kun je uitdrukkingen vereenvoudigen zonder ze volledig uit te rekenen. Je hoeft de regels niet te bewijzen, maar je moet ze wel correct kunnen toepassen.

Regel 1 — Machten vermenigvuldigen (zelfde grondtal)

Als je twee machten met hetzelfde grondtal vermenigvuldigt, tel je de exponenten op.

Waarom werkt dit? 2³ × 2⁴ = (2×2×2) × (2×2×2×2) = 2×2×2×2×2×2×2 = 2⁷. Je telt gewoon de factoren bij elkaar op: 3 + 4 = 7.

Regel 2 — Machten delen (zelfde grondtal)

Als je twee machten met hetzelfde grondtal deelt, trek je de exponenten van elkaar af.

Regel 3 — Macht van een macht

Als je een macht tot een macht verheft, vermenigvuldig je de exponenten.

Regel 4 — Macht van een product

Als je een product tot een macht verheft, mag je die macht over elk afzonderlijk factor verdelen.

Voorbeeld: (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000. Controleer: (2 × 5)³ = 10³ = 1000. ✓

Tot nu toe waren alle exponenten positieve gehele getallen. Maar wat betekent een negatieve exponent? Via de deelregel kunnen we dat uitleggen. We weten dat $a^3÷a^5=a^{3-5}=a^{-2}$. Maar als we dit uitschrijven krijgen we $\frac{a\times a\times a}{a\times a\times a\times a\times a}=\frac{1}{a\times a}=\frac{1}{a^2}$. Dus: a⁻² = $\frac{1}{a^2}$.

Wetenschappelijke notatie

In de wetenschap en de technologie werken we soms met heel grote of heel kleine getallen: de afstand van de Aarde tot de Zon (≈ 150 000 000 000 meter), de grootte van een atoom (≈ 0,000 000 0001 meter), het aantal bytes op een harde schijf. Zulke getallen zijn onhandig om volledig op te schrijven. Daarvoor bestaat de wetenschappelijke notatie.

Je verschuift de komma zodat er precies één cijfer voor de komma staat. Het aantal plaatsen dat je de komma verschuift, geeft de exponent van 10. Als je de komma naar links verschuift (getal wordt kleiner), is de exponent positief. Als je de komma naar rechts verschuift (getal wordt groter), is de exponent negatief.

Computeropslag — machten van 10 en van 2

Wanneer fabrikanten de capaciteit van opslagmedia (USB-sticks, harde schijven, SSD’s) opgeven, gebruiken ze machten van 10: 1 kilobyte (KB) = 10³ bytes = 1 000 bytes, 1 megabyte (MB) = 10⁶ bytes = 1 000 000 bytes, enzovoort. Computers werken echter intern met bits (0 of 1) en groeperen data in machten van 2: 1 kibibyte (KiB) = 2¹⁰ bytes = 1 024 bytes. Dit verklaart waarom een “1 GB” USB-stick in je besturingssysteem soms als 953 MB verschijnt: 10⁹ ÷ 2³⁰ ≈ 0,953. Beide zijn correct — ze gebruiken gewoon een andere definitie van kilo.

Een vierkantswortel is het omgekeerde van kwadrateren. Als we weten dat 5² = 25, dan is de vierkantswortel van 25 gelijk aan 5. We schrijven dat als √25 = 5. De worteloperatie vraagt: welk getal moet ik kwadrateren om dit getal te krijgen?

De derdemachtswortel (of kubuswortel) van een getal a is het getal dat tot de derde macht verheven gelijk is aan a. We noteren dit als ∛a. Anders dan bij de vierkantswortel bestaat de derdemachtswortel ook voor negatieve getallen: ∛(−27) = −3, want (−3)³ = −27.

Irrationale getallen en niet-exacte wortels

Niet alle vierkantswortels geven een “nette” uitkomst. √2 is niet gelijk aan een breuk van twee gehele getallen — het gaat oneindig door zonder patroon: √2 ≈ 1,41421356… Zo’n getal noemen we een irrationaal getal: het kan niet als breuk $\frac{p}{q}$ geschreven worden. De vierkantswortels van getallen die geen volmaakt kwadraat zijn (1, 4, 9, 16, 25, …) zijn steeds irrationaal.

In berekeningen laat je zulke wortels staan als √2, √3, √5, … tenzij je expliciet om een decimale benadering gevraagd wordt.

Het metrieke stelsel is gebaseerd op machten van 10. Alle eenheden zijn veelvouden of delers van een basiseenheid (meter, gram, liter, …). De voorvoegsels (prefixen) geven aan met welke macht van 10 je de basiseenheid vermenigvuldigt. Dit maakt omrekenen heel eenvoudig: je hoeft alleen maar de komma te verschuiven.

Overzicht van SI-prefixen

De systematiek van het metrieke stelsel maakt omrekenen mechanisch en foutloos: je verschuift alleen de komma. Van kilometer naar meter: 3 plaatsen naar rechts (factor 10³). Van millimeter naar meter: 3 plaatsen naar links (factor 10⁻³). Dit werkt precies omdat het systeem gebouwd is op dezelfde machten van 10 die we in dit hoofdstuk bestudeerd hebben.