Hoofdstuk 3

Breuken

Een breuk schrijft een deel van een geheel. Van het verdelen van een pizza tot het berekenen van kortingen en snelheden — breuken zijn overal. In dit hoofdstuk leer je breuken vereenvoudigen, vergelijken en alle vier de basisbewerkingen ermee uitvoeren.

Wat is een breuk?

Een breuk is een manier om een deel van een geheel uit te drukken. Als je een pizza in 5 gelijke stukken snijdt en er 3 opeet, heb je $\frac{3}{5}$ van de pizza gegeten. De breuk bestaat uit twee getallen, gescheiden door een breukstreep.

⁄

Begrip Teller en noemer

In een breuk $\frac{p}{q}$ heet het getal boven de breukstreep de teller (p) en het getal onder de breukstreep de noemer (q). De teller zegt hoeveel delen er genomen worden; de noemer zegt in hoeveel gelijke delen het geheel verdeeld is.

Een rechthoek verdeeld in 5 gelijke delen. De 3 gouden delen stellen de teller voor; de noemer is 5 (het totale aantal delen).

Soorten breuken

Wiskundigen onderscheiden drie soorten breuken, afhankelijk van de verhouding tussen teller en noemer:

Gewone breuk: de teller is kleiner dan de noemer, dus de breuk stelt een getal kleiner dan 1 voor. Voorbeeld: $\frac{3}{5}$ , $\frac{2}{7}$ .
Oneigenlijke breuk: de teller is groter dan of gelijk aan de noemer. De waarde is groter dan of gelijk aan 1. Voorbeeld: $\frac{7}{3}$ , $\frac{9}{4}$ .
Gemengd getal: een combinatie van een geheel getal en een gewone breuk. Voorbeeld: 2⅓ (spreek uit: “twee en één derde”), 3¾.

Basisregel — De noemer is nooit nul

De noemer q van een breuk $\frac{p}{q}$ mag nooit gelijk zijn aan nul. Delen door nul is immers ongedefinieerd in de wiskunde: er bestaat geen getal waaraan je nul kunt vermenigvuldigen om een getal verschillend van nul te krijgen. We schrijven altijd: q ≠ 0.

Omzetten: gemengd getal ↔ oneigenlijke breuk

Een gemengd getal en een oneigenlijke breuk stellen dezelfde waarde voor, maar zijn anders geschreven. Je kunt ze altijd omzetten.

Van gemengd getal naar oneigenlijke breuk: vermenigvuldig het gehele gedeelte met de noemer en tel de teller erbij op. De noemer blijft gelijk.

Voorbeeld: $2 \frac{1}{3}$ → noemer is 3; $2 \times 3 + 1 = 7$ , dus $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ .

Van oneigenlijke breuk naar gemengd getal: deel de teller door de noemer. Het quotient is het gehele deel; de rest wordt de nieuwe teller, de noemer blijft gelijk.

Rekenvoorbeeld

Zet het gemengde getal 3¾ om naar een oneigenlijke breuk.

Lees het gemengde getal: het gehele deel is 3, de breuk is $\frac{3}{4}$ . De noemer is 4.
Vermenigvuldig het gehele deel met de noemer: $3 \times 4 = 12$ .
Tel de oorspronkelijke teller erbij op: $12 + 3 = 15$ .
Schrijf het resultaat als breuk met de originele noemer: $\frac{15}{4}$ .

3¾ = $\frac{15}{4}$

💡 Denkvraag

Je hebt $\frac{9}{4}$ van een pizza. Kun je dit als gemengd getal schrijven? Hoeveel hele pizza’s en hoeveel stukken heb je?

Vereenvoudigen en gelijknamig maken

Breuken vereenvoudigen

Twee breuken zijn gelijkwaardig als ze dezelfde waarde voorstellen, ook al zien ze er anders uit: $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ en $\frac{1}{2}$ zijn allemaal gelijk. Een breuk vereenvoudigen betekent teller en noemer allebei delen door hun grootste gemene deler (GGD), zodat je de eenvoudigste schrijfwijze bekomt.

Stelling — Eenvoudigste vorm

Een breuk $\frac{p}{q}$ is in haar eenvoudigste vorm (of onherleidbare breuk) als de grootste gemene deler van p en q gelijk is aan 1: GGD(p, q) = 1. Teller en noemer hebben dan geen gemeenschappelijke delers meer behalve 1.

Rekenvoorbeeld

Vereenvoudig de breuk $\frac{18}{24}$ tot haar eenvoudigste vorm.

Zoek de delers van 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Zoek de delers van 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Bepaal de grootste gemene deler: GGD(18, 24) = 6.
Deel zowel teller als noemer door 6: $\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$ .
Controleer: GGD(3, 4) = 1 → de breuk is volledig vereenvoudigd.

$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

De equivalentieregel

Je mag teller en noemer van een breuk allebei vermenigvuldigen met hetzelfde getal k (≠ 0) zonder de waarde te veranderen. Dit principe gebruik je ook in omgekeerde richting bij het vereenvoudigen.

Equivalentieregel voor breuken

\frac{p}{q} = \frac{p \cdot k}{q \cdot k} (met k \neq 0)

Gelijknamig maken

Om breuken met verschillende noemers op te tellen, af te trekken of te vergelijken, moeten ze eerst gelijknamig gemaakt worden: ze moeten dezelfde noemer krijgen. Die gemeenschappelijke noemer is het kleinste gemene veelvoud (KGV) van de twee noemers.

Rekenvoorbeeld

Maak $\frac{2}{3}$ en $\frac{3}{4}$ gelijknamig.

Bepaal het KGV van de noemers 3 en 4. Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12, … | Veelvouden van 4: 4, 8, 12, … KGV(3, 4) = 12.
Zet $\frac{2}{3}$ om naar noemer 12: vermenigvuldig teller en noemer met 4: $\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$ .
Zet $\frac{3}{4}$ om naar noemer 12: vermenigvuldig teller en noemer met 3: $\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ .

$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ en $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

Breuken vergelijken

Om te weten welke van twee breuken groter is, gebruik je één van twee methoden. Beide leiden tot hetzelfde antwoord.

Methode 1: Gelijknamig maken en tellers vergelijken

Zet de breuken om naar dezelfde noemer (het KGV). Daarna is de breuk met de grootste teller ook de grootste breuk. Dit is de meest betrouwbare methode en werkt voor alle breuken.

Methode 2: Kruislings vermenigvuldigen

Voor twee breuken $\frac{a}{b}$ en $\frac{c}{d}$ (met positieve noemers) kun je ook kruislings vermenigvuldigen: bereken a × d en b × c. Als a × d > b × c, dan is $\frac{a}{b}$ de grootste.

Rekenvoorbeeld

Welke breuk is groter: $\frac{3}{5}$ of $\frac{5}{8}$ ?

Methode 1 — KGV(5, 8) = 40. Zet om: $\frac{3}{5} = \frac{24}{40}$ en $\frac{5}{8} = \frac{25}{40}$ .
Vergelijk tellers: 24 < 25, dus $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$ .
Methode 2 (controle) — Kruislings: 3 × 8 = 24 en 5 × 5 = 25. Omdat 24 < 25, is $\frac{3}{5}$ kleiner dan $\frac{5}{8}$ . Beide methoden geven hetzelfde resultaat.

$\frac{5}{8}$ is groter dan $\frac{3}{5}$ .

Visuele vergelijking van 3/5 (goud) en 5/8 (terracotta). Beide balken hebben dezelfde totale lengte. De iets langere terracotta balk toont dat 5/8 > 3/5.

Optellen en aftrekken van breuken

Breuken optellen en aftrekken is mogelijk wanneer ze gelijknamig zijn — dezelfde noemer hebben. Je telt dan enkel de tellers op of trekt ze af; de noemer blijft gelijk. Hebben de breuken verschillende noemers, dan maak je ze eerst gelijknamig met het KGV.

Optelling en aftrekking van breuken

\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n} en \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n}

Rekenvoorbeeld

Bereken $\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$ .

De noemers zijn 3 en 4. KGV(3, 4) = 12. Maak gelijknamig: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ en $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ .
Tel de tellers op, noemer blijft 12: $\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}$ .
Vereenvoudig: GGD(17, 12) = 1 → de breuk is al vereenvoudigd. Zet om naar gemengd getal: $\frac{17}{12} = 1 \frac{5}{12}$ (want 17 = 1 × 12 + 5).

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{17}{12} = 1 \frac{5}{12}$

Rekenvoorbeeld

Bereken $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$ .

KGV(6, 4) = 12. Maak gelijknamig: $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ en $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ .
Trek de tellers af, noemer blijft 12: $\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ .
GGD(7, 12) = 1 → al in eenvoudigste vorm.

$\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

Optellen met gemengde getallen

Bij gemengde getallen is het het eenvoudigst om ze eerst om te zetten naar oneigenlijke breuken, daarna gelijknamig te maken, op te tellen, en het resultaat eventueel terug te zetten naar een gemengd getal.

Rekenvoorbeeld

Bereken $2 \frac{1}{3} + 1 \frac{3}{4}$ .

Zet om naar oneigenlijke breuken: $2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ (want 2×3+1=7) en $1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ (want 1×4+3=7).
KGV(3, 4) = 12. Maak gelijknamig: $\frac{7}{3} = \frac{28}{12}$ en $\frac{7}{4} = \frac{21}{12}$ .
Tel op: $\frac{28}{12} + \frac{21}{12} = \frac{49}{12}$ .
Zet om naar gemengd getal: 49 ÷ 12 = 4 rest 1, dus $\frac{49}{12} = 4 \frac{1}{12}$ .

$2 \frac{1}{3} + 1 \frac{3}{4} = 4 \frac{1}{12}$

💡 Denkvraag

Je eet $\frac{1}{4}$ van een taart ’s ochtends en $\frac{1}{3}$ ’s middags. Hoeveel van de taart heb je gegeten? Is er nog genoeg voor iemand anders die ook $\frac{1}{3}$ wil?

Vermenigvuldigen en delen van breuken

Breuken vermenigvuldigen

Twee breuken vermenigvuldigen is eenvoudig: vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar. Het resultaat vereenvoudig je daarna zo ver mogelijk. Je kunt ook voor de vermenigvuldiging al vereenvoudigen door kruislings te delen — dat maakt de berekening overzichtelijker.

Rekenregel — Product van breuken

$\frac{p}{q} \times \frac{r}{s} = \frac{p \cdot r}{q \cdot s}$ (met q ≠ 0 en s ≠ 0)

Rekenvoorbeeld

Bereken $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$ .

Werkwijze A (standaard): Vermenigvuldig tellers en noemers: $\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12}$ . Vereenvoudig: GGD(6,12)=6 → $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .
Werkwijze B (kruisvereenvoudiging): Merk op dat 2 en 4 deelbaar zijn door 2, en 3 en 3 deelbaar zijn door 3. Vereenvoudig eerst: $\frac{2 / 2}{4 / 2}$ en $\frac{3 / 3}{3 / 3}$ geeft $\frac{1}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$ . Sneller en minder rekenkans op vergissingen.

$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$

Breuken delen

Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde (de reciproke) van die breuk. Je verwisselt teller en noemer van de deler en maakt er een vermenigvuldiging van.

Rekenregel — Quotiënt van breuken

$\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \times \frac{s}{r} = \frac{p \cdot s}{q \cdot r}$ (met q, r, s ≠ 0)

Rekenvoorbeeld

Bereken $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$ .

Vervang de deling door een vermenigvuldiging met het omgekeerde van $\frac{2}{5}$ : het omgekeerde is $\frac{5}{2}$ .
Reken uit: $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}$ .
Zet om naar gemengd getal: 15 ÷ 8 = 1 rest 7, dus $\frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$ .

$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{15}{8} = 1 \frac{7}{8}$

Rekenvoorbeeld — Toepassingsopgave

Een strook stof is $\frac{3}{4}$ meter lang. Je snijdt er stukjes van $\frac{3}{8}$ meter af. Hoeveel stukjes krijg je?

De vraag is: hoeveel keer past $\frac{3}{8}$ in $\frac{3}{4}$ ? Dit is een deling: $\frac{3}{4} \div \frac{3}{8}$ .
Vervang door vermenigvuldiging met het omgekeerde: $\frac{3}{4} \times \frac{8}{3}$ .
Kruisvereenvoudiging: 3 en 3 schrappen, 8 en 4 → 2: $\frac{1}{1} \times \frac{2}{1} = 2$ .

Je krijgt 2 stukjes van $\frac{3}{8}$ meter.

Breuken en decimale getallen

Breuken en decimale getallen zijn twee schrijfwijzen van dezelfde rationale getallen. Je kunt altijd van de ene schrijfwijze naar de andere overstappen.

Van breuk naar decimaal getal

Om een breuk om te zetten naar een decimaal getal, deel je de teller door de noemer. Je kunt dit uitvoeren via staartdeling of met een rekenmachine.

Rekenvoorbeeld

Zet $\frac{5}{8}$ om naar een decimaal getal.

Deel de teller door de noemer: 5 ÷ 8.
8 past 0 keer in 5, dus we werken met kommagetallen. 50 ÷ 8 = 6 rest 2 → eerste decimaal is 6.
20 ÷ 8 = 2 rest 4 → tweede decimaal is 2.
40 ÷ 8 = 5 rest 0 → derde decimaal is 5. Rest is 0, klaar.
Resultaat: 0,625.

$\frac{5}{8}$ = 0,625

Van eindigend decimaal getal naar breuk

Een eindigend decimaal getal zet je om door de decimalen te schrijven als een breuk met een macht van 10 als noemer. Vervolgens vereenvoudig je de breuk.

Rekenvoorbeeld

Zet 0,36 om naar een breuk in eenvoudigste vorm.

0,36 heeft 2 decimalen, dus de noemer is 100: $0,36 = \frac{36}{100}$ .
Bepaal GGD(36, 100). Delers van 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Delers van 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. GGD = 4.
Deel teller en noemer door 4: $\frac{36}{100} = \frac{9}{25}$ .
GGD(9, 25) = 1 → al in eenvoudigste vorm.

0,36 = $\frac{9}{25}$

Periodieke decimale getallen

Niet elke breuk geeft een eindigend decimaal getal. Sommige breuken geven een periodiek decimaal getal: een decimaal getal waarbij een groep cijfers zich oneindig herhaalt. We noteren dit met een streepje boven de herhalende groep.

Voorbeeld: $\frac{1}{3}$ = 0,333… = 0,̅3̅ (de 3 herhaalt zich oneindig). Ook $\frac{1}{7}$ = 0,142857142857… is een periodiekstal met periode 142857. In dit hoofdstuk focussen we op eindige decimalen; periodieke decimalen komen later uitgebreider aan bod.

💡 Denkvraag

Kun jij zonder rekenmachine bepalen of $\frac{3}{4}$ of 0,72 groter is? Welke strategie gebruik je? Zet ze om naar dezelfde schrijfwijze en vergelijk.

Oefeningen

Oefening 1

Omzetten: gemengde getallen en oneigenlijke breuken

Zet om van gemengd getal naar oneigenlijke breuk, of omgekeerd.

Zet om naar oneigenlijke breuk: $2 \frac{3}{5}$
Zet om naar oneigenlijke breuk: $4 \frac{1}{6}$
Zet om naar gemengd getal: $\frac{11}{4}$
Zet om naar gemengd getal: $\frac{23}{6}$
Zet om naar oneigenlijke breuk: $5 \frac{2}{3}$
Zet om naar gemengd getal: $\frac{19}{5}$

Tip: bij gemengd → oneigenlijk: (geheel × noemer + teller) / noemer. Bij oneigenlijk → gemengd: deel teller door noemer; quotiënt is het gehele deel, rest is de nieuwe teller.

Oefening 2

Breuken vereenvoudigen met de GGD

Vereenvoudig elke breuk tot haar eenvoudigste vorm. Noteer ook de GGD die je gebruikt hebt.

$\frac{12}{16}$
$\frac{15}{35}$
$\frac{36}{48}$
$\frac{42}{56}$
$\frac{100}{250}$
$\frac{7}{11}$ — is deze breuk al in eenvoudigste vorm? Verklaar.

Tip: controleer altijd je antwoord door GGD(nieuwe teller, nieuwe noemer) = 1 te verifiëren.

Oefening 3

Breuken optellen met verschillende noemers

Bereken en vereenvoudig zo ver mogelijk. Schrijf tussenresultaten op.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
$\frac{3}{5} + \frac{2}{3}$
$\frac{5}{8} + \frac{3}{4}$
$\frac{7}{10} + \frac{1}{4}$
$\frac{2}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ (drie breuken — uitdaging!)

Tip: bepaal eerst het KGV van de noemers vóór je omzet. Bij drie breuken neem je het KGV van alle drie de noemers tegelijk.

Oefening 4

Gemengde getallen aftrekken

Bereken. Zet gemengde getallen eerst om naar oneigenlijke breuken.

$3 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{4}$
$4 \frac{2}{3} - 2 \frac{1}{5}$
$5 \frac{3}{4} - 2 \frac{5}{6}$
$6 \frac{1}{3} - 3 \frac{3}{4}$

Tip: als de breuk van het tweede getal groter is dan die van het eerste na gelijknamig maken, is het handig om eerst om te zetten naar oneigenlijke breuken.

Oefening 5

Breuken vermenigvuldigen en delen

Bereken en vereenvoudig. Gebruik kruisvereenvoudiging waar mogelijk.

$\frac{3}{5} \times \frac{5}{9}$
$\frac{4}{7} \times \frac{14}{8}$
$\frac{5}{6} \div \frac{5}{12}$
$\frac{7}{8} \div \frac{7}{4}$
$2 \frac{1}{2} \times 1 \frac{1}{5}$ (met gemengde getallen)
$3 \frac{1}{3} \div 1 \frac{2}{3}$ (met gemengde getallen)

Tip: bij deling altijd eerst “omdraaien en vermenigvuldigen”. Bij gemengde getallen eerst omzetten naar oneigenlijke breuken.

Oefening 6

Toepassingsopgave — Recept voor een andere portie

Een recept voor 4 personen vraagt de volgende hoeveelheden:

$\frac{3}{4}$ kg bloem
$\frac{1}{2}$ liter melk
$1 \frac{1}{4}$ dl olijfolie
$\frac{2}{3}$ eetlepel zout

Je wilt het recept maken voor 6 personen. Bereken elke benodigde hoeveelheid. (De factor is 6/4 = 3/2.)

Hoeveel kg bloem heb je nodig?
Hoeveel liter melk heb je nodig?
Hoeveel dl olijfolie heb je nodig?
Hoeveel eetlepels zout heb je nodig?
Bonusvraag: je hebt thuis nog $\frac{7}{8}$ kg bloem. Heb je genoeg? Hoeveel houdt je over (of hoeveel kom je tekort)?

Tip: vermenigvuldig elk ingredient met $\frac{3}{2}$ (= de verhouding 6/4 vereenvoudigd). Vereenvoudig de antwoorden en schrijf ze eventueel als gemengde getallen.

Breuken

Breuken

Wat is een breuk?

Soorten breuken

Omzetten: gemengd getal ↔ oneigenlijke breuk

Vereenvoudigen en gelijknamig maken

Breuken vereenvoudigen

De equivalentieregel

Gelijknamig maken

Breuken vergelijken

Methode 1: Gelijknamig maken en tellers vergelijken

Methode 2: Kruislings vermenigvuldigen

Optellen en aftrekken van breuken

Optellen met gemengde getallen

Vermenigvuldigen en delen van breuken

Breuken vermenigvuldigen

Breuken delen

Breuken en decimale getallen

Van breuk naar decimaal getal

Van eindigend decimaal getal naar breuk

Periodieke decimale getallen

Oefeningen

Samenvatting