Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen — ook met negatieve getallen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn de vier basisbewerkingen van de wiskunde. In dit hoofdstuk pas je ze toe op gehele getallen — inclusief negatieve getallen — en leer je de juiste volgorde van bewerkingen.
In het dagelijkse leven kom je voortdurend negatieve getallen tegen: de temperatuur daalt tot −5 °C, een rekening staat −20 euro in het rood, een lift gaat naar verdieping −2. Zodra je met negatieve getallen begint te rekenen, moet je een aantal regels kennen voor het bepalen van het teken van het resultaat.
De sleutel tot optellen en aftrekken met gehele getallen ligt in twee eenvoudige principes: gelijke tekens optellen en verschillende tekens aftrekken. We werken dit hieronder stap voor stap uit.
Wanneer je twee gehele getallen optelt, gelden er twee gevallen op basis van hun tekens:
Gegeven twee gehele getallen a en b:
• Gelijke tekens: a + b = teken × (|a| + |b|) — het resultaat heeft hetzelfde teken als a en b.
• Verschillende tekens: a + b = tekengrootste × ( |a| − |b| ) — het resultaat heeft het teken van het getal met de grootste absolute waarde.
Bereken (−5) + 8.
(−5) + 8 = +3 = 3
Bereken 3 − (−4).
3 − (−4) = 3 + 4 = 7
De redenering achter de hoofdregel: “aftrekken” en “het tegengestelde optellen” zijn twee beschrijvingen van dezelfde bewerking. Als iemand jou 4 euro schuld kwijtscheldt (−(−4)), is dat exact hetzelfde als je 4 euro geven (+4). In beide gevallen ga je er 4 euro op vooruit.
De temperatuur was gisteren −3 °C. Vandaag is ze −7 °C. Wat is het temperatuursverschil? Stel de berekening op als een aftrekking van gehele getallen en los ze op.
Bij het vermenigvuldigen van gehele getallen is het bepalen van het teken van het product een cruciale stap. De absolute waarde bereken je gewoon als bij positieve getallen — je vermenigvuldigt de absolute waarden. Maar het teken van het resultaat volgt uit een vaste regel.
Je kunt de tekensregel intuïtief begrijpen via herhaalde optelling: 3 × (−4) = (−4) + (−4) + (−4) = −12. Als je een negatief getal driemaal optelt, wordt het resultaat negatiever en dus negatief. Voor twee negatieve factoren volgt de regel uit de wiskundige consistentie van de bewerking.
Het teken van het product van twee gehele getallen:
• (+) × (+) = + — twee positieve factoren geven een positief product
• (−) × (−) = + — twee negatieve factoren geven een positief product
• (+) × (−) = − — een positieve en een negatieve factor geven een negatief product
• (−) × (+) = − — idem (volgorde van de factoren maakt niet uit)
Korte samenvatting: gelijke tekens → positief product; verschillende tekens → negatief product.
Bereken (−3) × (−4).
(−3) × (−4) = +12 = 12
Bereken (−6) × 5.
(−6) × 5 = −30
Let op: als je meer dan twee factoren vermenigvuldigt, tel je het aantal negatieve factoren. Is dat een even aantal, dan is het product positief; is het een oneven aantal, dan is het product negatief.
Het product van twee gehele getallen met gelijke tekens is altijd positief. Het product van twee getallen met verschillende tekens is altijd negatief. De absolute waarde van het product is het product van de absolute waarden van de factoren.
Wat is het teken van (−1) × (−1) × (−1) × (−1) × (−1)? Verklaar je redenering zonder de berekening volledig uit te werken. Wat is de algemene regel voor een even of oneven aantal negatieve factoren?
Deling is de omgekeerde bewerking van vermenigvuldiging. Als 3 × 4 = 12, dan is 12 ÷ 4 = 3 en 12 ÷ 3 = 4. Deze relatie tussen vermenigvuldiging en deling geldt ook voor gehele getallen, en de tekensregel voor deling is identiek aan die voor vermenigvuldiging.
Voor het quotiënt
(met b ≠ 0) geldt:
• Gelijke tekens → positief quotiënt:
en
• Verschillende tekens → negatief quotiënt:
en
Deling door nul is niet gedefinieerd.
Wanneer je twee gehele getallen deelt en het resultaat niet opnieuw een geheel getal is, spreek je van een gehele deling met rest. Je schrijft dan:
a = het deeltal • b = de deler • q = het quotiënt • r = de rest
Bereken (−18) ÷ (−3).
(−18) ÷ (−3) = 6
Bereken (−15) ÷ 4. Wat merk je op?
Als rationaal getal: ∈ ℚ
Wanneer de deling geen geheel getal oplevert, stap je vanzelf over naar de wereld van de rationale getallen (ℚ), die je in een later hoofdstuk uitgebreider zult bestuderen. Voor nu is het voldoende te weten dat altijd een rationaal getal is zolang b ≠ 0.
Waarom mag je nooit door nul delen? Probeer uit te leggen wat er “mis” zou gaan als je een getal door 0 zou mogen delen. Hint: wat zou 6 ÷ 0 = x betekenen als je dit vertaalt naar een vermenigvuldiging?
Wanneer een wiskundige uitdrukking meerdere bewerkingen combineert, is de volgorde waarmee je ze uitvoert essentieel. Zonder een vaste afspraak zou 3 + 4 × 2 enerzijds 14 kunnen zijn (als je van links naar rechts werkt) of 11 (als je vermenigvuldiging voorrang geeft). Wiskundigen wereldwijd hebben hierover dezelfde afspraken gemaakt.
In België en Nederland onthouden leerlingen de prioriteitsvolgorde vaak met de ezelsbruggetje: “Haakjes, Machten, Maal en Delen, Plus en Min”. De eerste letters geven de volgorde aan: haakjes hebben de hoogste prioriteit, daarna machten en wortels, dan vermenigvuldiging en deling (van links naar rechts), en als laatste optelling en aftrekking (van links naar rechts).
Ezelsbruggetje: H–M–MD–PM of “Haakjes, Machten, Maal en Delen, Plus en Min”
Bereken 3 + 4 × 2. (Waarom is het antwoord 11 en niet 14?)
3 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11 (niet 14)
Bereken (3 + 4) × 2. Vergelijk met het vorige voorbeeld.
(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14
De haakjes in het tweede voorbeeld veranderen de uitkomst volledig. Haakjes zijn het instrument waarmee je de standaardvolgorde kunt doorbreken. Als je een optelling eerder wilt uitvoeren dan een vermenigvuldiging, zet je die optelling tussen haakjes.
Bereken −2 + 3 × (−4) − (6 ÷ (−2)) stap voor stap.
−2 + 3 × (−4) − (6 ÷ (−2)) = −11
Een medeleerling berekent 10 − 2 × 3 + 1 en krijgt 25 als antwoord. Wat heeft die medeleerling fout gedaan? Wat is het correcte antwoord, en hoe zou je de uitdrukking moeten schrijven als je écht 25 als antwoord wil?
Naast de volgorde van bewerkingen zijn er een aantal belangrijke eigenschappen die voor optelling en vermenigvuldiging gelden. Deze eigenschappen mag je gebruiken om berekeningen te vereenvoudigen en slimmer te rekenen. Ze worden geregeld toegepast in algebra en bij het oplossen van vergelijkingen.
De commutatieve eigenschap (ook: de verwisseleigenschap) zegt dat je bij optelling en vermenigvuldiging de volgorde van de termen of factoren mag verwisselen zonder het resultaat te veranderen.
Let op: aftrekking en deling zijn niet commutatief. 8 − 3 ≠ 3 − 8 en 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12. Verwisselen mag enkel bij optelling en vermenigvuldiging.
De associatieve eigenschap (ook: de groepeerteneigeenschap) zegt dat je bij optelling en vermenigvuldiging de manier waarop je de termen groepeert mag veranderen zonder het resultaat te beïnvloeden.
Dit is handig bij mondeling rekenen: om 17 + 38 + 3 te berekenen, groepeert je beter 17 + 3 = 20 eerst en telt dan 20 + 38 = 58. Je verandert de som niet, maar de berekening wordt makkelijker.
De distributieve eigenschap is de meest gebruikte van de drie — zeker wanneer je later met algebraïsche uitdrukkingen werkt. Ze legt het verband tussen vermenigvuldiging en optelling (of aftrekking).
De distributieve eigenschap werkt ook in omgekeerde richting: a×b + a×c = a×(b + c). Dat noem je factoren buiten haakjes brengen (gemeenschappelijke factor uitponden). Je zal dit later in algebra veelvuldig gebruiken.
Bereken 7 × 99 mondeling met behulp van de distributieve eigenschap.
7 × 99 = 7 × (100 − 1) = 700 − 7 = 693
Bereken −3 × (4 + (−2)) op twee manieren en controleer of je hetzelfde antwoord krijgt.
−3 × (4 + (−2)) = −6 (via beide methoden)
De distributieve eigenschap verbindt vermenigvuldiging met optelling en aftrekking: a × (b + c) = a×b + a×c. Ze laat toe haakjes “uit te vermenigvuldigen” (en in omgekeerde richting: gemeenschappelijke factoren buiten haakjes te brengen). Dit is één van de meest fundamentele regels van de algebra.
Gebruik de distributieve eigenschap om 8 × 97 snel mondeling te berekenen. Schrijf je tussenstap met haakjes op. Kun je ook 13 × 21 op een slimme manier opschrijven?
Oefening 1
Optellen en aftrekken met negatieve getallen
Bereken de volgende uitdrukkingen. Schrijf telkens het teken van het resultaat apart op voor je de absolute waarde uitrekent.
Tip: schrijf telkens de absolutewaarden op en beslis daarna over het teken. Bij aftrekken van een negatief getal mag je de bewerking eerst omschrijven naar een optelling.
Oefening 2
Tekensregels bij vermenigvuldiging en deling
Bereken en geef telkens het teken van het resultaat vóór je de absolute waarde berekent.
Tip: voor het laatste geval tel je het aantal negatieve factoren. Even aantal → positief resultaat, oneven aantal → negatief resultaat.
Oefening 3
Volgorde van bewerkingen
Bereken de volgende uitdrukkingen. Pas de juiste volgorde van bewerkingen toe en toon je tussenresultaten.
Oefening 4
Gecombineerde uitdrukking
Bereken de volgende uitdrukking volledig stap voor stap. Noteer elk tussenstap apart.
Werken in de juiste volgorde: eerst haakjes, dan maal/deel, dan plus/min.
Tip: markeer in de uitdrukking welke bewerking je als eerste, tweede en derde uitvoert. Werk het per stap uit zodat je geen fouten maakt met de tekens.
Oefening 5
De distributieve eigenschap toepassen
Gebruik de distributieve eigenschap om de volgende berekeningen op twee manieren uit te voeren (haakjes eerst én uitvermenigvuldigen) en controleer dat je hetzelfde antwoord krijgt.
Gebruik de distributieve eigenschap ook slim: bereken mondeling met de truc van het vorig hoofdstuk:
Tip: bij mondeling rekenen kies je een “gemakkelijk” getal in de buurt (zoals een veelvoud van 10 of 100) en gebruikt de distributieve eigenschap om te corrigeren.
Oefening 6
Uitdaging — Maak een uitdrukking gelijk aan −12
Schrijf drie verschillende uitdrukkingen die elk gelijk zijn aan −12. Elke uitdrukking moet aan al deze voorwaarden voldoen:
Controleer elk van je uitdrukkingen door de rekenvolgorde stap voor stap toe te passen.
Uitdaging: probeer ook een uitdrukking te schrijven waarbij de distributieve eigenschap je helpt om snel te zien dat het resultaat −12 is.