Wiskundigen ordenen getallen in verzamelingen op basis van hun eigenschappen. Elke verzameling heeft een eigen symbool en een eigen naam. Het is belangrijk dat je deze verzamelingen kent, want ze vormen de taal waarmee wiskundigen over getallen praten.

De natuurlijke getallen ℕ

De meest eenvoudige getallen zijn de natuurlijke getallen. Dit zijn de getallen die je gebruikt om te tellen: 0, 1, 2, 3, 4, … Ze beginnen bij nul en gaan oneindig ver door. Het symbool voor de verzameling van alle natuurlijke getallen is ℕ (een dubbele N, afgeleid van het woord Natuur).

Je gebruikt natuurlijke getallen elke dag: het aantal leerlingen in de klas, het nummer van je huis, de score van een voetbalwedstrijd. Nul is ook een natuurlijk getal: als een team geen doelpunten scoort, is de score 0 — dat is een echte waarde, geen afwezigheid van een waarde.

De gehele getallen ℤ

Soms zijn getallen kleiner dan nul: de temperatuur in de winter, een schuldpositie op een bankrekening, de verdieping −1 in een ondergrondse parking. Hiervoor breiden we de verzameling uit met de negatieve gehele getallen. De verzameling van alle gehele getallen wordt aangeduid met ℤ (een dubbele Z, van het Duitse woord Zahlen, wat “getallen” betekent).

Elk natuurlijk getal is ook een geheel getal, maar niet omgekeerd: −5 is een geheel getal, maar géén natuurlijk getal. De gehele getallen lopen oneindig ver in beide richtingen.

De rationale getallen ℚ

Wanneer je twee gehele getallen deelt, krijg je niet altijd een geheel getal. Als je een pizza in vier gelijke stukken snijdt en er drie eet, heb je $\frac{3}{4}$ van de pizza gegeten. Getallen die geschreven kunnen worden als een breuk $\frac{p}{q}$ waarbij p en q gehele getallen zijn en q ≠ 0, noemen we rationale getallen. Het symbool is ℚ (van het Latijnse quotiens, wat “quotiënt” betekent).

Voorbeelden van rationale getallen: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{7}{3}$, 0,75 (want 0,75 = $\frac{3}{4}$), en zelfs 5 (want 5 = $\frac{5}{1}$). Alle gehele getallen zijn dus ook rationale getallen.

De reële getallen ℝ

Er bestaan getallen die niet als een breuk van twee gehele getallen geschreven kunnen worden. Zo is de zijde van een vierkant met oppervlakte 2 gelijk aan √2 ≈ 1,41421356… — een getal met oneindig veel decimalen die geen patroon herhalen. Ook het beroemde getal π ≈ 3,14159265… is zo’n getal. Deze noemen we irrationale getallen. Samen met de rationale getallen vormen ze de verzameling van alle reële getallen ℝ.

In dit hoofdstuk werken we hoofdzakelijk met de naturlijke, gehele en rationale getallen. De reële getallen komen in latere hoofdstukken uitgebreider aan bod.

Om getallen visueel voor te stellen en te vergelijken, gebruiken wiskundigen een getallenas: een rechte lijn waarop elk reëel getal één vaste positie heeft. Links liggen de kleinere getallen, rechts de grotere. Het middelpunt is altijd nul, ook wel het oorsprong of de nulpunt van de as genoemd.

Hoe werkt dat in de praktijk? Je kiest een vaste eenheidslengte (bv. 1 cm per eenheid), plaatst nul in het midden, en markeert daarna alle gehele getallen op gelijke afstand. Breuken en kommagetallen komen tussen de gehele getallen te staan.

Absolute waarde

De absolute waarde van een getal is de afstand van dat getal tot nul op de getallenas. Afstanden zijn altijd positief of nul, nooit negatief. We noteren de absolute waarde met twee verticale strepen: |x|.

Voorbeelden:

• $|-3|=3$  — want −3 ligt 3 eenheden van nul verwijderd
• $\left|5\right|=5$  — want 5 ligt 5 eenheden van nul verwijderd
• $\left|0\right|=0$  — want 0 heeft afstand nul tot zichzelf

Let op het verschil: −7 is kleiner dan 4 (want −7 ligt verder links op de getallenas), maar de absolute waarde van −7 is góóter dan de absolute waarde van 4. Absolute waarde en grootte zijn twee verschillende begrippen.

Om te zeggen dat het ene getal groter of kleiner is dan een ander, gebruiken wiskundigen speciale vergelijkingssymbolen. Je hebt er vier:

• <   “is kleiner dan”  —  bv. 3 < 7
• >   “is groter dan”  —  bv. 7 > 3
• ≤   “is kleiner dan of gelijk aan”  —  bv. 3 ≤ 3 en 3 ≤ 7
• ≥   “is groter dan of gelijk aan”  —  bv. 7 ≥ 7 en 7 ≥ 3

Op de getallenas geldt altijd: een getal dat meer naar rechts staat is gróter; een getal dat meer naar links staat is kleiner. Dit geldt ook voor negatieve getallen, en dat is iets wat vergissingen uitlokt: −2 is groter dan −5, want −2 staat rechts van −5 op de getallenas.

Twee begrippen die je heel vaak tegenkomt in de wiskunde zijn het tegengestelde en het omgekeerde (ook wel het tegenovergestelde of de inverse genoemd) van een getal. Ze zijn heel verschillend, maar worden soms door elkaar gehaald. Het is belangrijk om het onderscheid goed te kennen.

Het tegengestelde van een getal

Het tegengestelde van een getal a is het getal −a. Op de getallenas ligt het tegengestelde van a even ver van nul verwijderd als a zelf, maar aan de andere kant. De som van een getal en zijn tegengestelde is altijd nul.

Het tegengestelde van een positief getal is negatief, en omgekeerd. Het tegengestelde van nul is nul zelf.

Het omgekeerde (reciproke) van een getal

Het omgekeerde of de reciproke van een getal a (met a ≠ 0) is $\frac{1}{a}$. Het product van een getal en zijn omgekeerde is altijd 1. Je vindt het omgekeerde van een breuk door teller en noemer te verwisselen.

Merk op: het omgekeerde van een negatief getal is ook negatief. Het tekengedrag blijft bewaard bij het nemen van de reciproke.

Een verzameling is een groep van objecten — in de wiskunde meestal getallen — die duidelijk gedefinieerd zijn. We schrijven een verzameling tussen accolades en noemen de elementen op (of geven een beschrijvende regel).

Notatie en symbolen

De basisnotaties die je moet kennen:

• { … }   accolades geven een verzameling aan, bv. A = {1, 2, 3, 4}
• ∈   “is een element van”, bv. 3 ∈ A
• ∉   “is geen element van”, bv. 5 ∉ A
• ⊂   “is een deelverzameling van”, bv. {1, 2} ⊂ A
• ∅   de lege verzameling — een verzameling zonder elementen

Voorbeelden van verzamelingen

Stel A = {2, 4, 6, 8} (de even getallen van 2 tot en met 8). Dan geldt:

• 4 ∈ A   (4 zit in de verzameling)
• 7 ∉ A   (7 zit niet in de verzameling)
• {2, 6} ⊂ A   (de deelverzameling {2, 6} zit helemaal in A)
• {1, 2} ⊄ A   (1 zit niet in A, dus {1, 2} is geen deelverzameling van A)

Doorsnede, unie en complement

Wanneer je twee verzamelingen hebt, kun je er nieuwe uit maken:

• Doorsnede A ∩ B: de elementen die in zowel A als B zitten.
• Unie A ∪ B: alle elementen die in A of B (of beide) zitten.
• Complement A′ (of CᵃA): de elementen van het universum die niet in A zitten.

Voorbeeld: stel A = {1, 2, 3, 4} en B = {3, 4, 5, 6}.
Dan is A ∩ B = {3, 4} en A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

De Venn-diagramtechniek helpt je om verbanden tussen verzamelingen visueel te maken. Ze worden ook in andere vakken gebruikt: denk aan overlapping van eigenschappen in biologie of taalanalyse.

De manier waarop wij getallen opschrijven — met de cijfers 0 tot 9 en met posities (eenheden, tientallen, honderdtallen…) — lijkt vanzelfsprekend, maar dat is ze niet. Door de geschiedenis heen gebruikten mensen heel verschillende talstelsels.

De oude Romeinen gebruikten letters: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Het getal 2024 schreef je als MMXXIV. Dat leest vlot, maar rekenen ermee is lastig: probeer maar eens MMXXIV te delen door VII! De Romeinse cijfers kennen bovendien geen symbool voor nul.

De Babyloniërs rekenden ongeveer 4000 jaar geleden in een zestigtallig stelsel (grondtal 60). Daar danken we vandaag nog onze 60 minuten in een uur en 60 seconden in een minuut aan, en de 360 graden van een volledige hoek.

Simon Stevin en de kommagetallen

Lange tijd noteerde men breuken enkel als “teller op noemer”. Rekenen met $\frac{3}{8}$ naast $\frac{5}{16}$ was omslachtig. De Vlaamse wiskundige Simon Stevin (Brugge, 1548–1620) bracht daar verandering in. In zijn boekje De Thiende (1585) liet hij zien dat je breuken met grondtal 10 veel handiger kunt schrijven als decimale getallen, met een vaste schrijfwijze achter de eenheden.

Stevins idee is rechtstreeks de voorouder van onze hedendaagse kommagetallen. Dankzij hem schrijven we een prijs als € 2,50 in plaats van als $2\frac{1}{2}$ euro. Wat begon als een idee uit Brugge, gebruik je vandaag elke dag in de winkel.